相加相乗平均の関係の証明

上野竜生です。前回,相加相乗平均の基本的な使い方を解説しました。そのときに証明を後回しにしてましたが,今回はその証明について述べていきます。

相加相乗平均 証明

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2変数の場合

示すべき式は次の通りです。

\(a>0 ,b>0\)のとき、\( \displaystyle \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \)
等号成立はa=bのとき

証明

2(左辺-右辺)≧0を示す

2(左辺-右辺)=\(a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0 \)

等号成立は\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\)、つまりa=bのとき。

ここまでは高校で普通に習うレベルです。

3変数のとき その1

因数分解の式を用いた証明です。

示すべき式は次の式です。

\(a>0 , b>0, c>0\)のとき、\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\)
等号成立はa=b=cのとき

因数分解の式

\(A^3+B^3+C^3-3ABC\\=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)\\=\frac{1}{2}(A+B+C)\{(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2\}\)
に\(A=\sqrt[3]{a} , B=\sqrt[3]{b} , C=\sqrt[3]{c}\)を代入すると

\(a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\\=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})\{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2+(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c})^2+(\sqrt[3]{c}-\sqrt[3]{a})^2 \} \\ \geq 0 \)

が成立する。等号成立は
\( \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}=0 \)かつ\( \sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c}=0 \)かつ\( \sqrt[3]{c}-\sqrt[3]{b}=0 \)のとき。
つまりa=b=cのとき。

4変数のとき

これは2変数の場合の証明を使って4変数の場合を示します。

この方法と同様のやり方で\(2^n\)変数の場合に成り立つと仮定して\(2^{n+1}\)変数の場合に示せます。よってここの証明を理解すれば4,8,16,32・・・変数の時は示せたことになります。

示すべき式は次の通り

\(a>0,b>0,c>0,d>0\)のとき、\( \displaystyle \frac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd} \)
等号成立はa=b=c=dのとき

証明 2変数の時の式より

\( \displaystyle \frac{A+B}{2} \geq \sqrt{AB} \)

が成立する。これに\(\displaystyle A=\frac{a+b}{2} ,B=\frac{c+d}{2}\)を代入すると

\( \displaystyle \frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2}=\frac{a+b+c+d}{4} \\ \geq \sqrt{\frac{a+b}{2} \cdot \frac{c+d}{2}} \\ \geq \sqrt{\sqrt{ab}\cdot \sqrt{cd}}=\sqrt[4]{abcd} \)

等号成立は\( \displaystyle \frac{a+b}{2}=\frac{c+d}{2} \)かつa=bかつc=d、つまりa=b=c=dのときです。

3変数のとき その2

4変数の場合を利用して3変数を示します。このやり方を応用すればすべての自然数nに対しn変数で示せます。たとえば5変数なら8変数からスタートすればOKです。

4変数の場合より

\( \displaystyle \frac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd} \)

\(\displaystyle d=\frac{a+b+c}{3} \)を代入すると

\( \displaystyle \frac{a+b+c+\frac{a+b+c}{3}}{4} \geq \sqrt[4]{abc\left(\frac{a+b+c}{3}\right)} \)

つまり、\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[4]{abc\left(\frac{a+b+c}{3}\right)} \)

両辺を\(\displaystyle \sqrt[4]{\frac{a+b+c}{3}}\)で割ると

\(\displaystyle \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{\frac{3}{4}} \geq \sqrt[4]{abc}=(abc)^{\frac{1}{4}} \)

両辺を4/3乗すると

\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geq (abc)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{abc} \)

等号成立は\( \displaystyle a=b=c=\frac{a+b+c}{3}\)のとき、つまりa=b=cのとき

n変数のとき

n=1のときは明らか。

n=2のときは最初に示した。

n=4,8,16・・・のときは4変数と同様のやり方で変数を倍にすることができる。

n=3のときは4変数から1つ消去すればいい(3変数その2のやり方)

n=5,6,7のときは8変数から消去すればよい。

n=9,10,11・・・のときは16変数から消去。以下同様にできる。

\( \lim_{n \to \infty} 2^n = \infty\)よりすべての自然数で証明できた。

以上ですべての場合に相加相乗平均の関係が示せたことになります。

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