係数が対称である方程式の解き方(相反方程式)

上野竜生です。相反(そうはん)方程式の解法を紹介します。

相反方程式

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相反方程式とは

ax4+bx3+cx2+bx+aのように係数が左右対称になっているもののことです。これによって相反であれば4次式や5次式が簡単に解けます。

最後まで読めばわかると思いますがn次式が相反方程式なら[n/2]次方程式まで次数を下げられます。([n/2]=n÷2の小数点以下切り捨て の意味)
なので4,5次式はともに2次式になり,解きやすくなるというわけです。6次式なら3次式に帰着されるのでできなくはないですがあまり出題されません。

例題1 4次式の場合(一般には偶数次式)

x4-5x3+6x2-5x+1=0を解け。

このタイプの解き方には定石があります。

<step1> x=0が解ではないことを確認する。
<step2> 両辺をx2で割る(一般には2乗のところをn/2乗に変える)
<step3> \( X=x+\frac{1}{x} \)とおき,Xの式で表す。(相反方程式なら必ず可能)
<step4> Xの方程式を解き,それを使ってxを求める。

答え<step1> 問題文の式にx=0を代入しても式は成立しないのでx≠0
<step2> 両辺をx2で割ると
\( \displaystyle x^2-5x+6-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0 \)
<step3> \( \displaystyle X=x+\frac{1}{x}\)とおく
\( \displaystyle X^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}   ∴x^2+\frac{1}{x^2}=X^2-2\)
よって
\( \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6 \\
=(X^2-2)-5X+6=X^2-5X+4=(X-1)(X-4)=0 \)
<step4> よってX=1,4
x=1のとき\( \displaystyle x+\frac{1}{x}=1 \)を解けばよい。整理すると
x2-x+1=0なので\(\displaystyle x=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2} \)
x=4のとき\( \displaystyle x+\frac{1}{x}=4 \)を解けばよい。整理すると
x2-4x+1=0なので\( x=2 \pm \sqrt{3} \)
以上より最初の方程式の解は
\( \displaystyle x=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2} , 2\pm \sqrt{3} \)
もちろん答案には<step1>などは書かなくてもいいです(笑)

例題2 5次式の場合(一般には奇数次式)

x5-4x4+x3+x2-4x+1=0を解け

nが奇数だと\( x^{\frac{n}{2}} \)で割れないのでうまくいきませんが基本に戻ると因数定理が使えます。x=-1を代入すると0になるので(x+1)で割れます。残りは4次式なので例題1と同様にしましょう。

一般に奇数次相反方程式は必ず(x+1)で割り切れます。(x=-1を代入して0になることを確かめればよい)

答え問題文の式にx=-1を代入すると0になるので因数定理より(x+1)でわりきれる。

実際に割り算をすると
(x+1)(x4-5x3+6x2-5x+1)=0となる。
4次式の部分は例題1と同じなので答えは
\( \displaystyle x=-1,\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2} , 2\pm \sqrt{3}\)

例題3 応用例:x5=1の解

x5=1を解け。

相反ではありませんがx5-1は因数定理より(x-1)で割り切れます。残った部分が相反方程式なので,実はこの方程式は最後まで解ききることができます。

答えx5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)
x4+x3+x2+x+1=0・・・(*)を考える。
x=0は(*)の解ではないので両辺をx2で割る
\( \displaystyle x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0 \)
\( \displaystyle X=x+\frac{1}{x} \)とおく
\( (X^2-2)+X+1=X^2+X-1=0 \) ∴\( \displaystyle X=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \)
よって\(\displaystyle x^2- \frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}x+1=0 \)を解けばよい。
\(\displaystyle x^2- \frac{-1+\sqrt{5}}{2}x+1=0 \)の解は
\(\displaystyle x=\frac{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\pm \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{4}-4}}{2}=\frac{-1+\sqrt{5} \pm \sqrt{2\sqrt{5}+10}i}{4} \)
\(\displaystyle x^2- \frac{-1-\sqrt{5}}{2}x+1=0 \)の解は
\(\displaystyle x=\frac{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\pm \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-4}}{2}=\frac{-1-\sqrt{5} \pm \sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4} \)以上よりまとめると
\(\displaystyle x=1, \frac{-1+\sqrt{5} \pm \sqrt{2\sqrt{5}+10}i}{4} , \frac{-1-\sqrt{5} \pm \sqrt{10-2\sqrt{5}}i}{4}\)

いかがでしたか。最初にx≠0の確認をするのを忘れないようにしてくださいね。

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