上野竜生です。∫eaxsinbxdxを計算するときどうしてますか?部分積分で解くのが正攻法ですがいろいろな解き方があります。ここでは部分積分も含めて3パターンのやり方で計算してみます。

指数×三角関数の積分

 

今回計算する積分

不定積分\( \displaystyle I=\int e^{ax} \sin{bx} dx  (a\neq 0 , b\neq 0) \)
広告

解法1:2回部分積分をする

\( \displaystyle I=\int e^{ax} \sin{bx}dx\\
=\displaystyle \frac{1}{a}e^{ax}\sin{bx} – \int \frac{1}{a}e^{ax}\cdot b\cos{bx} dx\\
=\displaystyle \frac{1}{a} e^{ax}\sin{bx} – \frac{b}{a} \int e^{ax}\cos{bx} dx \\
=\displaystyle \frac{1}{a} e^{ax}\sin{bx} – \frac{b}{a}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\cos{bx}-\int \frac{1}{a}e^{ax} \cdot (-b\sin{bx})dx\right)\\
=\displaystyle \frac{1}{a}e^{ax}\sin{bx} -\frac{b}{a^2}e^{ax}\cos{bx}-\frac{b^2}{a^2}I\)

よって\( \displaystyle \left(1+\frac{b^2}{a^2}\right)I=\frac{1}{a}e^{ax}\sin{bx} -\frac{b}{a^2}e^{ax}\cos{bx}\)

\(\displaystyle  I=\frac{a}{a^2+b^2}e^{ax}\sin{bx}-\frac{b}{a^2+b^2}e^{ax}\cos{bx}+C \)

これが初見で解くときの解法になります。

しかし1度解いたことがあれば ○eaxsinbx+△eaxcosbx+Cだったな・・・ぐらいの記憶は残ります。そこでその形と仮定して係数だけ計算する裏技があります。

解法2:ある程度形を思い出して微分で係数調整

\(F(x)=\alpha e^{ax}\sin{bx}+\beta e^{ax}\cos{bx} \)とする。

\( F'(x)=e^{ax}\sin{bx} \)となるように\( \alpha,\beta \)を定めればよい。

\( F'(x)=\\
\alpha a e^{ax}\sin{bx} + \alpha b e^{ax}\cos{bx} + \beta a e^{ax}\cos{bx}- \beta b e^{ax}\sin{bx} \\
=(\alpha a-\beta b)e^{ax}\sin{bx}+(\alpha b+\beta a)e^{ax}\cos{bx} \)

\( \alpha a – \beta b=1 \)かつ\( \alpha b+\beta a=0 \)であればよい。2式を連立させると

\( \displaystyle \alpha=\frac{a}{a^2+b^2} , \beta=-\frac{b}{a^2+b^2} \)

よって\(\displaystyle I=\frac{a}{a^2+b^2} e^{ax}\sin{bx}-\frac{b}{a^2+b^2}e^{ax}\cos{bx}+C \)

連立のところが文字だらけですが実際解くときはある程度aかbに数字が入ってるはずなので普通に解けるはずです。

広告

解法3:複素数で積分

eaxsinbx=eax+ibxの虚部であることを使い複素数で積分して虚部を取ります。

\( \displaystyle \int e^{ax+ibx} dx=\frac{1}{a+ib}e^{ax+ibx}+C\\
=\displaystyle \frac{a-bi}{a^2+b^2}e^{ax}(\cos{bx}+i\sin{bx})+C \)

虚部を取ると\( \displaystyle I=\frac{a}{a^2+b^2} e^{ax}\sin{bx}-\frac{b}{a^2+b^2}e^{ax}\cos{bx}+C\)

え?こんなのでいいの?って思うかもしれませんが結果は一致します。複素数ってうまく定義できていますね。

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。