Σ計算まとめ

上野竜生です。大学受験で出てきそうなΣ計算をまとめてみました。

Σ計算まとめ

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Σ計算の発想

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \{f(k+1)-f(k)\} =f(n+1)-f(1)\)

実際に左辺を展開すると
f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+f(4)-f(3)+・・・+f(n+1)-f(n)
で太字以外は相殺します。これを使って考えてるものが多いです。

多項式

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n 1 = n \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1) \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{1}{2} n(n+1) \right)^2 \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 = \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \)

4乗は覚える必要がありませんが3乗まで覚える必要があります。
3乗の結果は1乗の結果全体を2乗しているということに気を付ければ覚えやすいでしょう。
2乗の結果の最後の部分をn+2と間違えないようにすることが重要です。

[4乗の証明]

Σ計算の発想のところに書かれている式に\(f(n)=n^5\)を代入すると

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n (5k^4+10k^3+10k^2+5k+1)=(n+1)^5-1 \)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 ,\sum_{k=1}^n k^2 , \sum_{k=1}^n k ,\sum_{k=1}^n 1 \)はすでにわかっているのでそれらを代入して整理すれば求める式を得る。

指数関数

\( \displaystyle \sum_{k=0}^n r^k = \frac{r^{n+1}-1}{r-1} \)(r≠1)

1つずつずらして計算します。この計算結果をSとすると
\( \hspace{ 3pt }S=1+r+r^2+\cdots+r^n \)
\( rS=\hspace{ 15pt }r+r^2+\cdots+r^n+r^{n+1}\)
この両辺をひけば\( (1-r)S=1-r^{n+1} \)が得られるので両辺を1-rで割ればOKです。
あるいは\(f(n)=r^n \)としてΣ計算の発想の式に代入すると
\( \displaystyle \sum_{k=0}^n (r-1)r^k =r^{n+1}-1\)
(k=0からの和なので最後はrの0乗で1です。)
整理すれば求める式を得る。

多項式×指数関数

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n kr^{k-1} = \frac{1-(n+1)r^n+nr^{n+1}}{(1-r)^2} \)

上の指数関数と同様の方法で計算します。ただし引き算した結果が指数関数になります。指数関数の結果は上で求めてますので計算ができます。

または指数関数の和の式をrで微分しても得られます。

二項係数

\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n}  {}_{n}C_{k} = 2^n \)

\( (1+1)^n \)を二項定理で展開した式が左辺なので\((1+1)^n=2^n\)と等しくなります。

\( \displaystyle \sum_{n=k}^{m} {}_{n}C_{k} = {}_{m+1}C_{k+1} \)

パスカルの三角形を想像すればこの式が得られますが,証明は数学的帰納法で行います。基本的にこの式自体を覚えないといけない場面は出てこないでしょう。
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} (_{n}C_{k})^2 = _{2n}C_{n} \)
\((x+1)^n(x+1)^n=(x+1)^{2n}\)を展開したときの\(x^{n}\)の係数は
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} (_{n}C_{k})(_{n}C_{n-k}) = _{2n}C_{n} \)
\(_{n}C_{n-k}=_{n}C_{k}\)より成立。
これも覚えておく必要はほぼないです。

部分分数分解

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1-\frac{1}{n+1} \)

\(  \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)と部分分数分解できるので\( f(n)=-\frac{1}{n}\)としてΣ計算の発想の式を使います。

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \)

これは分数ではないのですが同様に考えられます。
\( k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\}\)
より\(f(n)=\frac{1}{4}(n-1)n(n+1)(n+2)\)としてΣ計算の発想の式を使います。

三角関数

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \cos{(kx)} = \frac{\sin{\{ (n+\frac{1}{2})x\}}}{2\sin{\frac{x}{2}}}-\frac{1}{2} \)

ディリクレ核と呼ばれる。証明は和積の公式を用いる
\( \cos{(kx)}\sin{\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\{\sin{((k+\frac{1}{2})x)}-\sin{((k-\frac{1}{2})x)} \}\)
よって\(\displaystyle  f(n)=\frac{\sin{(n-\frac{1}{2})x}}{2\sin{\frac{x}{2}}}\)とおいてΣ計算の発想の式を用いる。
これを使って左辺を見て右辺を導く問題はいまだに見たことないので覚える必要は全くと言っていいほどない。

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