積分と漸化式

上野竜生です。積分と漸化式に関する問題では部分積分を使うのが定石です。その方法について紹介します。

積分の漸化式

<鉄則>
積分に関する漸化式は部分積分を疑う
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例題1

\(\displaystyle I_n = \int (\log{x})^n dx \)とするとき,次の式を示せ。
\(I_n=x(\log{x})^n-nI_{n-1}\)

部分積分を用いると

\(\displaystyle I_{n} = \int (x)'(\log{x})^n dx \\
\displaystyle = x(\log{x})^n – \int x \{(\log{x})^n\}’dx \\
=\displaystyle  x(\log{x})^n- n\int x \left((\log{x})^{n-1} \cdot \frac{1}{x}\right) dx \\
\displaystyle =x (\log{x})^n-n\int (\log{x})^{n-1} dx \\
=x(\log{x})^n-nI_{n-1} \)

なお,logx以外にも同様に示せますのでそれ以外は結果だけ残しておきます。

\( \displaystyle I_n=\int \sin^n{x} dx=-\frac{1}{n}\sin^{n-1}{x}\cos{x}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)
\( \displaystyle I_n=\int \cos^n{x}dx=\frac{1}{n}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)
\( \displaystyle I_n=\int x^ne^x dx=x^ne^x-nI_{n-1}\)

最後にtanxのn乗の漸化式を示します。これは少し変わっています。

例題2

\( \displaystyle \int I_n=\int \tan^n{x}dx\)とするとき次の式を示せ
\( \displaystyle I_n=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}{x}-I_{n-2}\)

アイデアとしては

\( \displaystyle \tan^2{x}=\frac{1}{\cos^2{x}}-1=(\tan{x})’-1\)を使います。

[証明]

\( \displaystyle I_n=\int (\tan^2{x})(\tan^{n-2}{x}) dx \\
=\displaystyle \int \left(\frac{1}{\cos^2{x}}-1\right) \tan^{n-2}{x} dx \\
=\displaystyle \int \tan^{n-2}{x}\left(\frac{1}{\cos^2{x}}\right)dx-\int \tan^{n-2}{x} dx \\
=\displaystyle \int \tan^{n-2}{x} (\tan{x})’ dx – I_{n-2}\)

\( t=\tan{x}\)と置換すると

\( \displaystyle \int t^{n-2} dt – I_{n-2} \\
= \displaystyle \frac{1}{n-1} t^{n-1} – I_{n-2} \\
=\displaystyle \frac{1}{n-1} \tan^{n-1}{x} – I_{n-2} \)

tanだけはアイデアを覚えておきましょう。それ以外は部分積分で何とかなります。

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