上野竜生です。積分と漸化式に関する問題では部分積分を使うのが定石です。その方法について紹介します。
積分に関する漸化式は部分積分を疑う
例題１
\(I_n=x(\log{x})^n-nI_{n-1}\)
部分積分を用いると
\(\displaystyle I_{n} = \int (x)'(\log{x})^n dx \\
\displaystyle = x(\log{x})^n – \int x \{(\log{x})^n\}’dx \\
=\displaystyle x(\log{x})^n- n\int x \left((\log{x})^{n-1} \cdot \frac{1}{x}\right) dx \\
\displaystyle =x (\log{x})^n-n\int (\log{x})^{n-1} dx \\
=x(\log{x})^n-nI_{n-1} \)
なお，logx以外にも同様に示せますのでそれ以外は結果だけ残しておきます。
最後にtanxのn乗の漸化式を示します。これは少し変わっています。
例題２
\( \displaystyle I_n=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}{x}-I_{n-2}\)
アイデアとしては
\( \displaystyle \tan^2{x}=\frac{1}{\cos^2{x}}-1=(\tan{x})’-1\)を使います。
[証明]
\( \displaystyle I_n=\int (\tan^2{x})(\tan^{n-2}{x}) dx \\
=\displaystyle \int \left(\frac{1}{\cos^2{x}}-1\right) \tan^{n-2}{x} dx \\
=\displaystyle \int \tan^{n-2}{x}\left(\frac{1}{\cos^2{x}}\right)dx-\int \tan^{n-2}{x} dx \\
=\displaystyle \int \tan^{n-2}{x} (\tan{x})’ dx – I_{n-2}\)
\( t=\tan{x}\)と置換すると
\( \displaystyle \int t^{n-2} dt – I_{n-2} \\
= \displaystyle \frac{1}{n-1} t^{n-1} – I_{n-2} \\
=\displaystyle \frac{1}{n-1} \tan^{n-1}{x} – I_{n-2} \)
tanだけはアイデアを覚えておきましょう。それ以外は部分積分で何とかなります。
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