基本的な積分公式

上野竜生です。今回は積分の基本公式とそれだけで解ける簡単な積分の練習をします。今回紹介している結果は覚えましょう。

Cは積分定数。証明は右辺を微分して左辺になることを確かめればよい。
・\(\displaystyle \int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} +C \) (a≠-1)
・\(\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \log{|x|}+C \) (上でa=-1の場合)

たとえば\(a=\frac{3}{2} \)と考えれば
\(\displaystyle \int x\sqrt{x}dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+C = \frac{2}{5}x^2 \sqrt{x}+C \)
なども含んでいることに注意。

・\(\displaystyle \int \sin{x} dx = -\cos{x}+C \)
・\(\displaystyle \int \cos{x} dx = \sin{x}+C \)
・\(\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2{x}}=\tan{x}+C \)
・\(\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2{x}}=-\frac{1}{\tan{x}}+C \)

・\(\displaystyle \int e^x dx =e^x+C \)
・\(\displaystyle \int a^x dx = \frac{a^x}{\log{a}}+C \)

とりあえずここまでが基本です。覚えましょう。ちなみに以下の結果は別の方法で導出するので覚えるほどではありませんが積分計算はできます。
・\(\displaystyle \int \tan{x}dx = -\log{|\cos{x}|}+C \)
・\(\displaystyle \int \log{x}dx = x\log{x}-x+C \)

それではこの基本の結果だけで計算できる積分を練習していきましょう。

ちなみに定積分は不定積分を計算した後,上端の値を代入したものから下端の値を代入したものを引くというのは数IIのときと同じです。

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例題

(1) \(\displaystyle \int (\sqrt{x}+\frac{1}{x^2} )^3 dx \)
(2) \(\displaystyle \int_0^{\pi} (\tan{x}+1)\cos{x} dx \)
(3) \(\displaystyle \int \frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}} dx \)
答えすべてCは積分定数。
(1) \(\displaystyle \int (\sqrt{x}+\frac{1}{x^2} )^3 dx \\ \displaystyle = \int (x\sqrt{x} + \frac{3}{x}+\frac{3}{x^3\sqrt{x}}+\frac{1}{x^6})dx \\ =\displaystyle \int x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{x}+ 3x^{-\frac{7}{2}} +x^{-6}dx \\ \displaystyle = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} +3\log{|x|} -\frac{6}{5}x^{-\frac{5}{2} } – \frac{1}{5}x^{-5} +C \\ \displaystyle = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + 3\log{|x|} – \frac{6}{5x^2\sqrt{x}} – \frac{1}{5x^5} +C \)
(2) \(\displaystyle \int_0^{\pi} (\tan{x}+1)\cos{x} dx \\ \displaystyle = \int_0^{\pi} (\sin{x}+\cos{x})dx \\ \displaystyle = \left[ -\cos{x}+\sin{x} \right]_0^{\pi}=2 \)
(3) \(\displaystyle \int \frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}} dx \\ \displaystyle = \int \frac{\sin^2{x}(1-\cos{x})}{(1+\cos{x})(1-\cos{x})}dx \\ \displaystyle = \int (1-\cos{x})dx = x-\sin{x}+C \)

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