(x+√y)^nと(x-√y)^nの共役性について

上野竜生です。√の共役性を証明したいと思います。

(x+√y)^nと(x-√y)^nの共役性

まず証明する内容はこれです。

\( (x+\sqrt{y})^n=a_n + b_n \sqrt{y} \)とする。このとき,
\( (x-\sqrt{y})^n=a_n-b_n\sqrt{y} \)である。

まず最初の仮定から数列\( a_n ,b_n \)に関する等式を導きます。

\( a_1=x , b_1=y \)

\( a_{n+1} + b_{n+1} \sqrt{y} \\
=(x+\sqrt{y})^{n+1} \\
=(x+\sqrt{y})^n \cdot (x+\sqrt{y}) \\
=(a_n + b_n\sqrt{y} )(x+\sqrt{y})\\
=(a_n x+ b_n y)+(b_n x+ a_n)\sqrt{y}\)

より\( a_{n+1}=a_nx+b_ny , b_{n+1}=b_nx+a_n \)(★)となります。

これを用いて数学的帰納法で証明します。

n=1のとき

\( a_1=x, b_1=y\)より明らかに成立。

n=kで成立すると仮定するとn=k+1のとき

\( (x-\sqrt{y})^{k+1}\\
=(x-\sqrt{y})^k \cdot (x-\sqrt{y})\\
=(a_k – b_k \sqrt{y})(x-\sqrt{y})\\
=(a_kx+b_ky)-(b_kx+a_k)\sqrt{y}\\
=a_{k+1} – b_{k+1}\sqrt{y} \)

(2行目から3行目は帰納法の仮定,最後の等式は(★)より)

よってすべての自然数に対し題意は成立

少しマニアックな知識でこれを知ってないといけない問題はまず出ないと思いますが紹介しました(今週の問題のために紹介したといっても過言ではありません・・・)

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