√(1+sinx)dx系の積分4パターン


上野竜生です。√(1+sinx)dx系の積分を4つ(\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin{x}}dx , \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin{x}}dx ,\) \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\cos{x}}dx , \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\cos{x}}dx\))紹介します。

√(1+sinx)dxなどの計算

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\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\cos{x}}dx \)

1+cosxがあるので半角の公式を使うことを考えればいいですが分母分子に\(\sqrt{1-\cos{x}} \)をかける力技でも解けます。注意すべき点は\( \sqrt{A^2}=|A| \)なので積分区間から|A|=Aであると述べるところです。

解法1:半角の公式の利用

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\cos{x}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2\cos^2{\frac{x}{2}}} dx =\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos{\frac{x}{2}}| dx \)
ここで\( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \)の範囲では\(\displaystyle |\cos{\frac{x}{2}}|=\cos{\frac{x}{2}} \)なので
(与式)=\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2} \cos{\frac{x}{2}}dx =\left[2\sqrt{2} \sin{\frac{x}{2}}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=2 \)

解法2:分母分子に\(\sqrt{1-\cos{x}}\)をかける

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\cos{x}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{1-\cos^2{x}}}{\sqrt{1-\cos{x}}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}}{\sqrt{1-\cos{x}}}dx \)
(∵\(0\leq x \leq \frac{\pi}{2} \)のとき\( \sqrt{1-\cos^2{x}}=\sqrt{\sin^2{x}}=|\sin{x}|=\sin{x} \))
\( t=\cos{x} \)とおくと
(与式)=\(\displaystyle \int_1^{0} \frac{-dt}{\sqrt{1-t}}= \left[2\sqrt{1-t}\right]_1^{0}=2 \)

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\cos{x}} dx \)

先ほどと全く同様です。

解法1:半角の公式の利用

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\cos{x}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2\sin^2{\frac{x}{2}}} dx =\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin{\frac{x}{2}}| dx \)
ここで\( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \)の範囲では\(\displaystyle |\sin{\frac{x}{2}}|=\sin{\frac{x}{2}} \)なので
(与式)=\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2} \sin{\frac{x}{2}}dx =\left[-2\sqrt{2} \cos{\frac{x}{2}}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=2\sqrt{2}-2 \)

解法2:分母分子に\(\sqrt{1+\cos{x}}\)をかける

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\cos{x}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{1-\cos^2{x}}}{\sqrt{1+\cos{x}}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}}{\sqrt{1+\cos{x}}}dx \)
(∵\(0\leq x \leq \frac{\pi}{2} \)のとき\( \sqrt{1-\cos^2{x}}=\sqrt{\sin^2{x}}=|\sin{x}|=\sin{x} \))
\( t=\cos{x} \)とおくと
(与式)=\(\displaystyle \int_1^{0} \frac{-dt}{\sqrt{1+t}}= \left[-2\sqrt{1+t}\right]_1^{0}=2\sqrt{2}-2 \)

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin{x}}dx \)

sinでは半角の公式が使えないので\( \sin{x}=\cos{(\frac{\pi}{2}-x)} \)の関係を使ってcosに直します。解法2は全く同様です。

解法1:半角の公式の利用

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin{x}}dx =\\ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}} dx
=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2\cos^2{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}} dx =\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}| dx \)
ここで\( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \)の範囲では\(\displaystyle |\cos{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}|=\cos{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})} \)なので
(与式)=\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2} \cos{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}dx =\left[-2\sqrt{2} \sin{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=2 \)

解法2:分母分子に\(\sqrt{1-\sin{x}}\)をかける

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin{x}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{1-\sin^2{x}}}{\sqrt{1-\sin{x}}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}}{\sqrt{1-\sin{x}}}dx \)
(∵\(0\leq x \leq \frac{\pi}{2} \)のとき\( \sqrt{1-\sin^2{x}}=\sqrt{\cos^2{x}}=|\cos{x}|=\cos{x} \))
\( t=\sin{x} \)とおくと
(与式)=\(\displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t}}= \left[-2\sqrt{1-t}\right]_0^1=2 \)

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin{x}}dx \)

解法1:半角の公式の利用

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin{x}}dx =\\ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}} dx
=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2\sin^2{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}} dx =\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}| dx \)
ここで\( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \)の範囲では\(\displaystyle |\sin{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}|=\sin{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})} \)なので
(与式)=\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2} \sin{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}dx =\left[2\sqrt{2} \cos{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=2\sqrt{2}-2 \)

解法2:分母分子に\(\sqrt{1+\sin{x}}\)をかける

\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin{x}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{1-\sin^2{x}}}{\sqrt{1+\sin{x}}}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}}{\sqrt{1+\sin{x}}}dx \)
(∵\(0\leq x \leq \frac{\pi}{2} \)のとき\( \sqrt{1-\sin^2{x}}=\sqrt{\cos^2{x}}=|\cos{x}|=\cos{x} \))
\( t=\sin{x} \)とおくと
(与式)=\(\displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1+t}}= \left[2\sqrt{1+t}\right]_0^1=2\sqrt{2}-2 \)

なお絶対値が一発で外せないような積分区間のときは場合分けして足し算します。
(例\(\displaystyle \int_0^{2\pi} |\sin{x}| dx = \int_0^{\pi} \sin{x}dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin{x})dx \))

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