ピタゴラス数の性質~「あまり」に着目~

上野竜生です。a2+b2=c2を満たす整数(a,b,c)のことをピタゴラス数といいます。それについて性質をいくつか紹介します。整数問題のほかの問題にも応用が効きます。

ピタゴラス数の性質(「あまり」に着目)

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あまりに着目せよ

例題1 整数a,b,cがa2+b2=c2を満たしているとき
(1) a,bのうち少なくとも1つは3の倍数であることを示せ。
(2) a,b,cのうち少なくとも1つは5の倍数であることを示せ。

どちらも背理法で示すのがいいでしょう。ただし「何で割った余り」を考えるとうまくいくかはやってみるまでわかりません。(1)のように「3の倍数であること」を示すのに7で割った余りを考えるのは流石にあり得ないでしょう。まずは3で割った余りを考えるのが普通ですね。

答え(1)
aもbも3の倍数でないと仮定する
(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1
(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1より
3で割って余りが1,2のものを2乗すると3で割った余りは1になる。
よって(左辺)を3で割った余りは2
しかし(右辺)を3で割った余りは2ではない
(∵cが3の倍数なら(右辺)も3の倍数。cが3の倍数でなければ(右辺)を3で割った余りは1)
よって矛盾。a,bのうち少なくとも1つは3の倍数である。
(2) 同様にすると5で割った余りは以下のようになる。

aを5で割った余り 0 1 2 3 4
a2を5で割った余り 0 1 4 4 1

a,bがともに5の倍数でないとするとa2,b2を5で割った余りは1または4なので(左辺)を5で割った余りとして考えられるのは2,0,3のいずれかである。
cも5の倍数でないと仮定すると(右辺)を5で割った余りとして考えられるのは1または4である。
よって矛盾。a,b,cのうち少なくとも1つは5の倍数である。

例題2 a,b,cは最大公約数が1である整数でa2+b2=c2を満たしているとする。
(1) cは奇数であることを示せ。
(2) a,bのうち少なくとも一方は4の倍数であることを示せ。

いきなり(2)を同様のやり方で示そうとしましょう。4で割った余りは以下のようになる。

aを4で割った余り 0 1 2 3
a2を4で割った余り 0 1 0 1

a,bがともに4の倍数でないと仮定するとa2,b2を4で割ったあまりは0または1なので(左辺)を4で割った余りは0,1,2

・・・これではうまくいきません。4で割った余りだと4パターンしかなく不足していると考えます。先ほどと違い「4の倍数」を示したいから4で割った余りとはいかないのです。

(2)単独だと難問なので(1)の誘導をいれました。しかしこれもまた厄介です。2で割った余りではうまくいきません。結果としては(1)は4で割った余り,(2)は8で割った余りに着目します。

答え(1) 偶数の2乗は4の倍数。奇数の2乗は4で割ると1余る(∵(2k+1)2=4k2+4k+1)
よって(a,b)=(偶数,偶数)のとき(左辺)を4で割った余りは0なのでcは偶数。これではa,b,cの最大公約数が1なので不適。
(a,b)=(偶数,奇数)のとき(左辺)を4で割った余りは1なのでcは奇数。
(a,b)=(奇数,偶数)の時も同様。
(a,b)=(奇数,奇数)のとき(左辺)を4で割った余りは2だが,(右辺)は4で割った余りが0または1なので不適。
以上よりcは奇数である。
(2) 8で割った余りに着目すると次のようになる。

aを8で割った余り 0 1 2 3 4 5 6 7
a2を8で割った余り 0 1 4 1 0 1 4 1

(1)よりcは奇数だから(右辺)を8で割った余りは1
a,bがともに4の倍数でないと仮定するとa2,b2を8で割った余りは1,4のいずれかなので(左辺)を8で割った余りとして考えられるのは2,5,0である。よって矛盾。
以上よりa,bのうち少なくとも一方は4の倍数である。

なぜ(1)では2で割った余りでなく4で割った余りで,(2)は4で割った余りではなく8で割った余りなのか?と言われると「やってみたらうまくいくから」としかいえません。しかし全く手掛かりがないのかというとそうでもありません。
偶数:(2k)2=4k2だから2の倍数というより4の倍数
奇数:(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1で,連続する2整数の積は偶数だから4で割った余りが1というより8で割った余りが1
(4k+1)2=16k2+8k+1だから4で割った余りが1というより8で割った余りが1
・・・などなど。言われている条件よりキツイ条件が見えてくるはずです。それを手掛かりにすれば多少は考える余地があります。

「何で割った余りに着目するか」それを見つけるのが最大の難所です。

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