2直線のなす角を求める問題の解き方

上野竜生です。2直線のなす角を求める問題はほぼ1パターンで解けます。

2直線のなす角

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復習1: 傾き=tanθ

直線y=mx+nがx軸となす角をθとします。この直線の傾きとはxが1増えたときのyの増加量のことでy=mx+nとおいたときの「m」の値です。

一方でtanθとはxが1増えたときのyの増加量のことです。つまり同じ定義です。この2つが等しいので

m=tanθ

となります。

復習2: tanの加法定理

タンジェントの加法定理は以下の通りです。

$$ \tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$

$$ \tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$

なお,\(\displaystyle \tan{(90°-\theta)}=\frac{1}{\tan{\theta}} \)もあわせて知っておきましょう。

例題

角度を求める問題

2直線y=2x+4と\(y=\frac{1}{3}x+5\)のなす角のうち180°より小さいほうをθとする。θは何度か?

それぞれの直線とx軸のなす角をα,βとするとtanα=2,tanβ=\(\frac{1}{3}\)であり,求めたい角はα-βである。しかしこれは直接求めるのは難しい。そこでtanの加法定理を使う。

答えy=2x+4とx軸のなす角をα

\( y=\frac{1}{3}x+5\)とx軸のなす角をβとすると

\( \tan{\alpha}=2 , \tan{\beta}=\frac{1}{3} \)である。

三角関数の加法定理より

\(\displaystyle \tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}=\frac{2-\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{3}}=1 \)

よってα-β=45°

これは180°より小さいので答えは45°

角度を求める問題ではy切片は必要ありません。この問題文にある直線の式の「+4」「+5」の部分はどうでもいい数字です。

ちなみにtanの値の中で有理数になる角度x°(x:整数)はx=0,45(,135,180・・・)しかありません。tanの加法定理の形からtanα,tanβが有理数ならtan(α-β)も有理数なので基本的にこのようなタイプで角度をきかれたら45°の倍数となり目分量でもわかるぐらいになります。検算に使えます。

傾きを求める問題

例題: m>0とする。y=3x+8とy=mxのなす角が60°となるようなmの値を求めよ。

答えy=3x+8とx軸のなす角をα,

y=mxとx軸のなす角をβとすると

tanα=3,tanβ=m

60°<α<90°よりtan(α-β)=tan60°=\( \sqrt{3} \)

よって三角関数の加法定理より

\(\displaystyle \tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}=\frac{3-m}{1+3m}=\sqrt{3} \)

整理すると\( 3-m=3\sqrt{3}m+\sqrt{3} \)

よって\(\displaystyle m=\frac{3-\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+1}=\frac{10\sqrt{3}-12}{26}=\frac{5\sqrt{3}-6}{13}\)

60°<α<90°よりの部分:α-β=60°となる場合とβ-α=60°となる場合があります。β-α=60°とすると120°<β<150°となりm=tanβが負となります。問題文にm>0とあるので不適です。

オマケ

y=5x+mとy=mx+5が垂直に交わるようなmの値を求めよ。

垂直なのでα-β=90° よってtanの加法定理とするとうまくいきません(tan90°が定義されていない)

垂直の時は傾きの積が-1という条件を使いましょう。

答え2直線は垂直に交わるから傾きの積は-1

∴5m=-1 よって\( m=-\frac{1}{5} \)

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