無理方程式・無理不等式の解法

上野竜生です。今回は無理方程式や無理不等式の解法を紹介していきます。

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方程式を解くときの基本

\(\sqrt{A}=B \)などを解くとき両辺を2乗して解の候補を求めたあと、その解を元の式に代入して確かめる

不等式を解くときの基本

1 グラフを図示できるならグラフを書いたほうがわかりやすい
2 どうしてもグラフが無理なら\(\sqrt{A}=B \)の形に変形してみる。(=の部分は>,<,≧,≦になっても同じ)
・定義域よりA≧0は必ず必要
B≧0かB<0かで場合分けして考える

2乗してAになるもののうち負ではないほうをルートAと定義しています。この「負ではないほう」という定義のせいで場合分けが必要になるのです。
グラフを書くのと同じぐらい面倒ですし,間違えやすいのでグラフがかけないときのみの手段にしたいところです。

例題

次の方程式・不等式を解け
(1) \(\sqrt{8x+1} = 2x-1 \)
(2) \(\sqrt{8x+1} > 2x+1 \)
(3) \(2x-\sqrt{8x+1} <1 \)

答え

(1) 両辺2乗すると
\( 8x+1=4x^2-4x+1 \)
\( 4x^2-12x =0 \)
x=0,3
x=0を代入すると(左辺)=1,(右辺)=-1なので不適
x=3を代入すると(左辺)=(右辺)=5となり適。
よってx=3

(2) グラフをかくと下の通り(赤と青に注目)
無理不等式のグラフ
交点のx座標を求める。両辺2乗すると
\( 8x+1=4x^2+4x+1 \)
\( 4x^2-4x=0 \)
x=0,1
よってグラフから不等式の解は0<x<1

【別解】
定義域より\( x \geq -\frac{1}{8} \)
2x+1≧0のときつまり\(x \geq -\frac{1}{2} \)のとき両辺2乗して
\( 8x+1>4x^2+4x+1 \)
\( 4x^2-4x <0 \)
0<x<1
これは定義域と2x+1≧0を満たす。
2x+1<0のとき、つまり\( x < -\frac{1}{2} \)のとき
これは定義域に入っていないので不適
よって0<x<1

最初から定義域より2x+1>0としてすすめれば場合分けをなくせます。

答え

(3) 式を変形すると\(\sqrt{8x+1} >2x-1 \)
\( y=\sqrt{8x+1}\)とy=2x-1をグラフにかくと(2)の通り。(赤と緑に注目)
交点のx座標は(1)よりx=3なので定義域\( x \geq -\frac{1}{8} \)とあわせると
\( -\frac{1}{8} \leq x <3 \)

【別解】
式を変形すると\(\sqrt{8x+1} >2x-1 \)
定義域より\( x \geq -\frac{1}{8} \)
2x-1≧0のとき、つまり\( x \geq \frac{1}{2} \)のとき両辺を2乗して
\( 8x+1 > 4x^2-4x+1 \)
\( 4x^2-12x<0 \)
0<x<3
定義域と\( x \geq \frac{1}{2} \)より
\(\frac{1}{2} \leq x <3 \)
2x-1<0のとき、つまり\( x < \frac{1}{2} \)のとき(左辺)≧0>(右辺)なので必ず不等式は成立する。よって定義域と\( x < \frac{1}{2} \)より
\( -\frac{1}{8} \leq x < \frac{1}{2} \)
以上より不等式の解は
\(\displaystyle -\frac{1}{8} \leq x <3 \)

ルートの定義が少し(0以上のほうをとるという部分が)人工的なので人工的な場合分けが必要になるのです。

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