x,yが円や楕円上を動くときf(x,y)の最大最小問題

上野竜生です。2変数関数の最大・最小問題の中で特に(x,y)が円や楕円上を動くときは三角関数の利用が有効です。実際にどう解くのか見てみましょう。初見では難しいですがセンターでも頻出な良問です。

円(楕円)を動くときの最大・最小

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基本アイデア

x2+y2=a2の形になっている場合はx=acosθ,y=asinθとおくと三角関数の最大最小問題になります。(つまり1変数消去できます)

またx=acosθ , y=bsinθとおけばいい問題も例題2で扱います。

例題1 (x,y)が円周上にあるとき

実数x,yがx2+y2=4を満たすとき,次の最大値を求めよ。
(1) x
(2) x+3y
(3) x2+8y
(4) \(x^2+\sqrt{3}xy\)
答えx,yがx2+y2=4を満たすとき,x=2cosθ,y=2sinθ(0≦θ<2π)とおける。
(1) cosθの最大値は1だからx=2cosθの最大値は2((x,y)=(2,0)のとき)
(2) x+3y=2cosθ+6sinθ
\(=2\sqrt{10}\sin{(\theta+\alpha)}\)
ただし\(\alpha\)は\(\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{10}},\cos{\alpha}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)を満たす角。
\(\alpha \leq \theta+\alpha \leq 2\pi+\alpha\)での\(\sin{(\theta+\alpha)}\)の最大値は1だからx+3yの最大値は\(2\sqrt{10} \)
なお最大となるx,yの値を求めようとすると次のようになります。
\(\sin{(\theta+\alpha)}\)が最大となるのは\(\theta+\alpha=\frac{\pi}{2}\)のとき。
よって
\(x=2\cos{\theta}=2\cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=2\sin{\alpha}=\frac{2}{\sqrt{10}}\)
\(y=2\sin{\theta}=2\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=2\cos{\alpha}=\frac{6}{\sqrt{10}}\)
のとき

答え(3) x2+8y=4cos2θ+16sinθ=4-4sin2θ+16sinθ
=-4(sinθ-2)2+20
-1≦sinθ≦1よりsinθ=1のとき最大値16((x,y)=0,2のとき)

<別解>
x2+8y=(4-y2)+8y=-(y-4)2+20
-2≦y≦2よりy=2(,x=0)のとき最大値16

答え(4)
\(x^2+\sqrt{3}xy=\\4\cos^2{\theta}+4\sqrt{3}\sin{\theta}\cos{\theta}\\=4\cdot \frac{\cos{2\theta}+1}{2}+2\sqrt{3}\sin{2\theta}\\
=2\sqrt{3} \sin{2\theta}+2\cos{2\theta}+2\\
=4\sin{(2\theta+\frac{\pi}{6})}+2 \)
\(0\leq \theta < 2\pi \)より\(\frac{\pi}{6} \leq 2\theta+\frac{\pi}{6} < \frac{25}{6}\pi \)
\(2\theta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} , \frac{5}{2}\pi \),つまり\(\theta=\frac{\pi}{6},\frac{7}{6}\pi \)のとき最大値6
(\((x,y)=(\sqrt{3},1),(-\sqrt{3},-1) \)のとき)

このパターンはやや難しいですが頻出です。覚えておきましょう。

例題2 (x,y)が楕円上にあるとき

実数x,yがx2+4y2=4を満たすとき,x2+2xy+2y2の最大値とそのときのx,yの値を求めよ。
答え
\(x^2+4y^2=4\)を動くから\(x=2\cos{\theta},y=\sin{\theta}(0\leq \theta<2\pi) \)とおける。
\(x^2+2xy+2y^2
\\=4\cos^2{\theta}+4\sin{\theta}\cos{\theta}+2\sin^2{\theta}\\
=2+(\cos{2\theta}+1)+2\sin{2\theta}\\=2\sin{2\theta}+\cos{2\theta}+3\\
=\sqrt{5}\sin{(2\theta+\alpha)}+3\)
(ただし\(\alpha\)は\(\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}},\cos{\alpha}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)を満たす角(\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\)))
\(0\leq \theta <2\pi \)より\(\alpha\leq 2\theta+\alpha<4\pi+\alpha\)
より\(2\theta+\alpha=\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{5} \)のとき最大値\(3+\sqrt{5}\)
\(\cos{2\theta}=\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{5}}{5},\sin{2\theta}=\cos{\alpha}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
\(\cos^2{\theta}=\frac{\cos{2\theta}+1}{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{10}\)
\(\displaystyle x=2\cos{\theta}=\pm 2\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \)
\(\sin^2{\theta}=\frac{1-\cos{2\theta}}{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{10}\)
\(\displaystyle y=\sin{\theta}=\pm \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}\)
\(\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}>0\)に注意すると最大となるx,yの値は
\(\displaystyle (x,y)=\left( \pm 2\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}},\pm \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}} \right)\)(複号同順)

最後の問題はやや複雑ですが三角関数の応用問題としてはなかなか良問です。レベルの高い試験を受ける人にとってはこのレベルまでを「基礎」と呼びたいところです。

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