直線・平面図形の回転体の体積の求め方

上野竜生です。直線や平面図形を回転させたときの体積の求め方を紹介します。
ちなみに平面図形の回転といってもy=f(x)上の平面図形をx軸やy軸に回転させる(=つまり一度折り返してから積分するタイプ)のものではなく軸から離れた位置にある三角形などを回転させます。

空間上の平面図形の回転体

POINT基本は回転軸に垂直な平面で切断し,切断面の面積を求める!

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例題

xyz空間上に3点A(1,-2,0),B(1,-1,3),C(1,1,0)がある。
(1) 線分ABをz軸を中心に1回転させてできる立体とxy平面 ,z=3で囲まれる立体の体積を求めよ。
(2) 三角形ABCをz軸中心に1回転させてできる立体の体積を求めよ。

空間の位置情報

どちらもz=tで切断したときの断面を考えます。1回転すれば必ず断面は円なので半径を頑張って計算すればいいのです。

答え(1)線分AB上に点Pをとると
\(\vec{OP}=k\vec{OA}+(1-k)\vec{OB}=(1,-k-1,3-3k) \)
z座標がtになる点の座標を求める。
3-3k=tより\(k=1-\frac{t}{3} \)
∴\( P(1,\frac{t}{3}-2,t) \)
よってz=tで切断したときの切断面は下の図のような円となる。
切断面
(0,0,t)とPの距離は\(\sqrt{1^2+ (\frac{t}{3}-2)^2}=\sqrt{\frac{t^2}{9}-\frac{4}{3}t+5} \)
となるので断面の円の面積は
\(\pi (\sqrt{\frac{t^2}{9}-\frac{4}{3}t+5})^2 = (\frac{t^2}{9}-\frac{4}{3}t+5 )\pi \)
よって回転体の体積はt=0からt=3まで積分して
\(\displaystyle \int_0^3 (\frac{t^2}{9}-\frac{4}{3}t+5 )\pi dt \\
=\displaystyle \pi \left[\frac{1}{27}t^3 – \frac{2}{3}t^2 + 5t \right]_0^3 \\
=(1-6+15)\pi =10\pi \)

(2) (1)とほとんど同じですが先ほどと違い回転軸付近はスカスカです。なので断面は円から円を取り除いたものになります。
この面積を求めるためには回転軸から最も遠い点の座標と,回転軸に最も近い点の座標を計算する必要があります。

答え三角形ABCをz=tで切断したとき,z軸から最も遠い点をP,z軸に最も近い点をQとする。
Pは線分AB上にあるので(1)と同じ点である。
Qの座標を求める。図より
\(0 \leq t \leq \frac{3}{2} \)ではQ(1,0,t)
\(\frac{3}{2} \leq t \leq 3\)ではQは線分BC上にある。
遠い点近い点(※黄色の平面からyz平面までの距離は常に1で一定なので回転軸との距離の大小はこの図におけるz軸の距離の大小に等しい。よって赤い線が1番遠く,青い線が1番近い。)\(\vec{OQ}=l\vec{OB}+(1-l)\vec{OC}=(1,1-2l , 3l) \)
z座標はtなので\( 3l=t \)を代入するとQの座標は\( (1,1-\frac{2}{3}t, t) \)
よって切断面の面積は(0,0,t)とPの距離の2乗が\( \frac{t^2}{9}-\frac{4}{3}t+5 \)であることに注意すると
\( 0\leq t \leq \frac{3}{2} \)のとき
断面図1
\( \pi (\frac{t^2}{9}-\frac{4}{3}t+5) – \pi = \pi (\frac{t^2}{9}-\frac{4}{3}t+4) \) ((0,0,t)とQの距離は1だから半径1の円の面積は\(\pi 1^2 =\pi \))
\( \frac{3}{2} \leq t \leq 3 \)のとき
断面図2
\( \pi (\frac{t^2}{9}-\frac{4}{3}t+5) – \pi (1^2 + (1-\frac{2}{3}t)^2) \\
=\pi (\frac{t^2}{9}-\frac{4}{3}t+5 )-\pi (\frac{4}{9}t^2 – \frac{4}{3}t+2) \\
=\pi (-\frac{1}{3}t^2 +3)\)
よって体積は
\(\displaystyle \int_0^{\frac{3}{2}} \pi (\frac{t^2}{9}-\frac{4}{3}t+4) dt + \int_{\frac{3}{2}}^3 \pi (-\frac{1}{3}t^2 +3) dt \\
=\displaystyle \pi \left[\frac{1}{27}t^3 – \frac{2}{3}t^2 +4t \right]_0^{\frac{3}{2}} + \pi \left[-\frac{1}{9}t^3+3t \right]_{\frac{3}{2}}^3 \\
=\displaystyle \pi (\frac{1}{8}-\frac{3}{2}+6) + \pi \{(-3+9)-(-\frac{3}{8}+\frac{9}{2})\}\\
=\displaystyle \frac{13}{2} \pi \)

計算式をしっかり理解していれば,(1)の10πからQの回転体の体積だけを引いて計算すれば良いことがわかります。この場合\(0 \leq t \leq \frac{3}{2}\)の部分は円柱で体積は明らかに\(\frac{3}{2}\pi \)なので
\(\displaystyle 10\pi – \frac{3}{2}\pi – \int_{\frac{3}{2}}^3 \pi (\frac{4}{9}t^2 – \frac{4}{3}t+2)dt \\
=\displaystyle \frac{17}{2}\pi – \pi \left[\frac{4}{27}t^3 – \frac{2}{3}t^2 +2t \right]_{\frac{3}{2}}^3 \\
=\displaystyle \frac{17}{2}\pi – \pi (4-6+6)+\pi(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+3) \\
=\displaystyle \frac{13}{2} \pi \)
と計算量を減らすことができます。

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