極限が与えられたとき、未知数(係数や指数部分)を求める

上野竜生です。今回は極限計算の結果から未知数を求める問題の解法を紹介します。例題1・2のような係数部分を求めるのも重要ですが例題3のようなタイプが難関大入試によく出題されます。

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例題1

\(\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^2+ax+b}{x^2-x}=4 \)となるように定数a,bの値を定めよ。

極限の基礎で学んだように
\(\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=b , \lim_{x\to a} g(x)=0 \)ならば
\(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=(\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)})(\lim_{x\to a} g(x))=b\cdot 0 =0\)
となります。つまり(分母)→0ならば(分子)→0が必要となります。
逆に(分子)→0ならば(分母)→0が必要となります。ここから1変数消去すると不定形が解消できます。

答え(分母)→0(x→1)なので(分子)→0(x→1)も必要。
よって\( 1+a+b=0 \)
つまり\( b=-a-1 \)を元の式に代入する
\(\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^2+ax-a-1}{x^2-x}=\lim_{x\to 1} \frac{(x+a+1)(x-1)}{x(x-1)}\\ \displaystyle =\lim_{x\to 1} \frac{x+a+1}{x}=a+2=4 \)
よってa=2,b=-3

例題2

\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}( \sqrt{ax^2+bx}-2x)=3 \)となるように定数a,b(a>0)の値を定めよ。
答え\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}( \sqrt{ax^2+bx}-2x) \\ = \displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{( \sqrt{ax^2+bx}-2x)( \sqrt{ax^2+bx}+2x)}{\sqrt{ax^2+bx}+2x}\\ =\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(a-4)x^2+bx}{\sqrt{ax^2+bx}+2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(a-4)x+b}{\sqrt{a+\frac{b}{x}}+2} \)
a>4なら正の無限大に発散し、a<4なら負の無限大に発散する。よってa=4である。
a=4のとき
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{b}{\sqrt{4+\frac{b}{x}}+2}=\frac{b}{4}=3 \)
ゆえにa=4,b=12

例題3

\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^n} \)が0以外の有限の値に収束するように自然数nの値を定め,その極限値を求めよ。

これは係数を決定するのではなく指数部分の決定ですがこういうタイプもよく出題されます。

答え\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\sin{x}}{x^n}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}(1-\cos{x})}{\cos{x}\cdot x^n}\\ \displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}(1-\cos{x})(1+\cos{x})}{\cos{x}(1+\cos{x})x^n}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin^3{x}}{\cos{x}(1+\cos{x})x^n} \\ =\displaystyle \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^3 \frac{1}{\cos{x}(1+\cos{x})x^{n-3}} \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^3 \frac{1}{\cos{x}(1+\cos{x})}=1^3 \cdot \frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}\)なので
n=3のとき\(\displaystyle \frac{1}{2} \)に収束する。
n<3のとき0に収束するので不適
n>3のときは収束しないので不適
よってn=3で収束値は\(\displaystyle \frac{1}{2} \)
「自然数n」でなくても「実数n」でも成り立ちます。

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