極限 定期試験対策(模擬試験)

上野竜生です。数IIIの「極限」の章末問題として定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれる(第4問選択時)ので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。

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解答上の注意

・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。

・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消えると萎えるので解答は紙にメモしながら解き、最後にまとめて入力することをオススメします。

・試験1日前に解くことも想定して一瞬で採点できるマークシート式の問題にしています。記述問題は選択問題にしかありませんが導出過程や証明も大事にしましょう。

解答用紙の記入の注意

空欄1つに2ケタ以上が入るかもしれません。1つの問に複数の空欄がある場合は半角カンマ(,)で区切って入力してください。なお必ず整数値を入力してください(下の例2参照)

例1: [ア]\(\sqrt{[イ]}\)に\( 12\sqrt{2} \)と解答する場合 [ア,イ]の解答欄に12,2と入力しなさい。

例2: \([ア]x^2+[イ]x+[ウ] \)に\( x^2-x \)と解答する場合[ア,イ,ウ]の解答欄に1,-1,0と入力しなさい。

例3: アに選択肢③を解答する場合[ア]の解答欄に3と入力しなさい。

第1問 (60点)

(1) a=2.5とする。xを超えない最大の整数を[x]と表すとき
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{[a]^n}{a^n}=[ア], \lim_{n \to \infty} \frac{[a^n]}{a^n}=[イ]\)である。

(2) \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{3^x+2^{2x}}{3^x-2^{2x}} = [ウ] \)である。

(3) \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}=[エ] \)である。

(4) \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{2}{n} \right)^n = [オ]\)である。

[オ]の選択肢
①\(\displaystyle \frac{1}{e^2}\)  ②\(\displaystyle \frac{2}{e}\)  ③\(\displaystyle \frac{1}{e}\)  ④\(\displaystyle \frac{1}{2e}\)  ⑤\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}\)
⑥\(-2\)  ⑦\(-1\)  ⑧\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)  ⑨\(0\)

(5) \(\displaystyle a_n=\frac{\sqrt{n^2+11}-\sqrt{n^2+6}}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}} \)とする。

次のうち0以外の有限の値に収束するものは[カ]であり、その収束値は\( \displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \)である。

[カ]の選択肢
① \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n a_n \)   ② \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n \)   ③ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \)
④ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} a_n \)   ⑤ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} a_n \)

(6) \(a_1=0 , \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+4}{a_n+1} \)で定められる数列のn→∞の極限を求める。不定形を解消した式と極限の計算結果は
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{[ケ]-[コ]\cdot (\frac{[サ]}{[シ]})^{n-1}}{1+(\frac{[サ]}{[シ]})^{n-1}}=[ス]\)である。

(7) \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2\sin{(2x+\frac{\pi}{6})} -a}{x} \)が収束するaの値は[セ]でありその収束値は[ソ]である。

[セ]・[ソ]の選択肢
①1  ②\(\sqrt{3}\)  ③2  ④\(2\sqrt{3}\)
⑤-1  ⑥\(-\sqrt{3}\)  ⑦-2  ⑧\(-2\sqrt{3}\) ⑨0

(8) \(x^3+2x^2+3x+4\)は単調増加であるから\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)はただ1つの実数解をもつ。その解をαとするとαの整数部分は[タ]である。

第2問(10点)

\( \displaystyle a_n=1-\frac{1}{n} \)とする。次の無限級数は収束するか?発散するか?収束するならばその和は何になるか答えなさい。

(1) \( a_2+a_3+a_4+a_5+\cdots \) [チ]

[チ]の選択肢
①0に収束する ②\(\frac{1}{2}\)に収束する ③1に収束する
④e-1に収束する ⑤eに収束する ⑥∞に発散する

(2) \( \log{a_2}+\log{a_3}+\log{a_4} +\log{a_5} +\cdots \) [ツ]

[ツ]の選択肢
①0に収束する ②-1に収束する ③\(\frac{1}{e}-1\)に収束する
④\(-\frac{1}{e} \)に収束する ⑤\(-\frac{1}{e}-1\)に収束する ⑥-eに収束する
⑦-e-1に収束する ⑧-e+1に収束する ⑨-∞に発散する

第3問(10点)

\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to \infty} \frac{x^{2n+2}+a\cdot 2^n +bx}{x^{2n}+5} \)がx>0で連続になっているとする。

(1) a=[テ],b=[ト]である。

(2) \(\displaystyle \lim_{x \to -1+0} f(x)=[ナ]\)である。

(3) f(x)は実数全体で連続で[ニ]。

[ニ]の選択肢 : ①ある ②ない

第4問・第5問は選択問題です。積分を習ってる人は第4問が穴埋め形式なのでオススメです。習ってない人は第5問の記述問題に挑戦してください。第5問は自動採点されません。

第4問(選択問題:積分習ってる人向け 20点)

(1) \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=2n-1}^{4n-1} \frac{2}{3n+k}=\log{\frac{[ヌ]}{[ネ]}}\)

(2) \(\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\tan{x}-\sqrt{3}}{x-\frac{\pi}{3}}=[ノ] \)

(3) \(\displaystyle y=\frac{e^{3x}}{x^2+4} , x=0 , y=0 , x=a \)で囲まれる部分の面積をS(a)とする。
このとき\(\displaystyle \lim_{a\to 0} \frac{S(a)}{a}=\frac{[ハ]}{[ヒ]} \)である。

(4) \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \int_3^x te^{-2t} dt = \frac{[フ]}{[ヘ]e^{[ホ]}} \)

第5問(選択問題:記述 20点)

∠\(O=\displaystyle \frac{\pi}{3} \)、∠\( B_1=\displaystyle \frac{\pi}{2} \)の直角三角形\(OA B_1\)がある。辺\(AB_1\)上に点\(B_2,B_3,\cdots \)を次のように定める。

「三角形\(OAB_{n+1}\)の面積が三角形\(OAB_n\)の面積のちょうど半分になるように定める。」

∠\( AOB_n =\theta_n \)と定めるとき\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} n \theta_n \)を求めよ。ただし導出過程や証明も丁寧に書くこと。

解答用紙

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