極限の計算・記述方法 後編

上野竜生です。前回極限の計算方法として2パターン証明しました今回は残りの部分を紹介します。前回の記事を読んでいない方は前回のから読んでみてください。

極限の求め方(後半)

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等比数列の極限の形が使えるようにする

使う公式は次の通りです。
\( -1<r<1 \)のとき\(r^n \to 0 ( n \to \infty) \)
\( r=1 \)のとき\( r^n \to 1 ( n \to \infty ) \)

例題1

次の極限値を求めよ。
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3^n+6^{n+2}}{2^{2n+1}-6^{n}}\)

分母分子を\(6^n\)で割るとこの公式が使えます。

\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3^n+6^{n+2}}{2^{2n+1}-6^{n}}
\\ \displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n+36}{2(\frac{2}{3})^n -1}
\\ \displaystyle = \frac{0+36}{2\cdot 0 -1}=-36\)

eの定義を用いる

eの定義とは次のものです。

\( \displaystyle e=\lim_{n \to \pm \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} \)

e≒2.718・・・です。

例題2

次の極限値を求めよ。
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n \)

m=-nとおくと

\( \displaystyle \lim_{m \to -\infty} \left(\left( 1+\frac{1}{m} \right)^m\right)^{-1} = e^{-1}=\frac{1}{e} \)

変形パターンはこれか,これにlogがついたものぐらいしかないです

ハサミウチの原理の利用

ハサミウチの原理とは次のようなものです。

すべての自然数n(ある値より大きいすべての自然数でも可)に対し\( a_n \leq b_n \leq c_n \)であり,\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n =\alpha \)ならば\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\alpha \)

nは実数でも成り立ちます。つまり,任意の実数nに対しa(n)≦b(n)≦c(n)で,a(n)とc(n)の極限が一致すればb(n)の極限もその値になります。

これを使う場合「何で挟むか」は自分の直感で決めることになります。計算しやすそう・一度計算問題で見たことある形・問題文の誘導などから判断しましょう。

やってみた結果,ちゃんとはさめたら正解ですがやってみるまで正解かわかりません。

例題3

(1) x>1に対し\( x < 2^{x} \)を示せ。
(2) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x} \)を求めよ。

(1) これ自体はハサミウチの原理を使う問題ではありません。(今回のテーマに関係ないのでここで行き詰った人は(1)を認めて先に(2)を読んでください)とにかくなんでもいいので示します。右辺-左辺>0を示すので右辺-左辺をf(x)とおきます。

(1)答え

\( f(x)=2^{x}-x \)とおくと,\(f'(x)=2^{x}\log 2 -1>0 \)(∵x>1)

よってx>1では単調増加し,f(1)=1>0よりx>1に対してf(x)>0

(2)答え

x>1のとき\(\displaystyle 0 < xe^{-x} < 2^{x}e^{-x}= \left(\frac{2}{e}\right)^x \)が成立する

\( \displaystyle \lim_{x\to \infty} 0 =0 , \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{e}\right)^x=0 \left(∵\frac{2}{e}<1\right)\)

よってハサミウチの原理より\( \displaystyle \lim_{x\to \infty} xe^{-x}=0 \)

ロピタルの定理

これは便利な定理ですが記述式で使う場合使用条件を確認するのが複雑です。これについては別の記事でかきます。

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