2つの関数の共通接線の求め方

上野竜生です。共通接線の求め方を2パターン紹介します。

復習

よく考えれば明らかだとは思いますがこのことは重要です

接点が等しいとき

y=f(x)とy=g(x)が共有点Aをもち，Aにおける接線が等しいときy=f(x)とy=g(x)が接するといいます。これに関する問題は非常に単純なので一般論のみを紹介します。

y=f(x)やy=g(x)の中に定数aが含まれていて，「2曲線が接する」条件からaの値を定める問題が出た場合，次のように処理します。

この2つを連立させて解きます。なお接線のy切片については1個目の条件と同じなので新たな式は生まれません。

こちらは比較的簡単に発想できると思います。問題なのは次の接点が異なるときです。

接点が異なるとき

１番確実な方法は2つの曲線の接線の式を立てて係数を比較することです。

この方法が一番確実ですが，与えられた曲線によってはほかにもいろいろな方法があります。主に1つ目の曲線について接線の式をたて，それが2つめに接する条件（係数比較以外の方法）で未知数t（接点のx座標）を求める方法です。ただしこちらは楽な分，使える曲線が限られています。例題を見てみましょう。

例題

＜解１＞　係数比較する

\( y=x^2+5 \)上の点\( (t,t^2+5) \)からひいた接線の方程式は

\( x^2+y^2=1\)上の点\( (\cos{\theta},\sin{\theta}) \)からひいた接線の方程式は

（∵放物線の接線がy軸に平行ではない）

係数比較をすると

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle 2t=-\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}} \\
\displaystyle -t^2+5= \frac{1}{\sin{\theta}}
\end{array} \right.\end{eqnarray}\)

2乗した式を考えると

となるので

\( 4t^2=(t^2-5)^2-1 \)

整理すると

よって\( t= \pm \sqrt{2} , \pm 2\sqrt{3} \)

それぞれ代入すると

＜解２＞円の接線⇔判別式の利用

放物線の接線の式が\( y=2tx-t^2+5 \)までは解１と同じ。この式を円の式に代入すると

\( x^2+(2tx-t^2+5)^2=1 \)

これが円に接するからこのxについての式の判別式が0つまり，

整理すると

\( t=\pm \sqrt{2} , \pm 2\sqrt{3} \)（以下同様）

＜解３＞　円に接する⇔点（円の中心）と直線（接線）の距離が半径

放物線の接線の式が\( y=2tx-t^2+5 \)までは解１と同じ。

点(0,0)と直線\( 2tx-y+(-t^2+5)=0\)の距離が1だから
\( \displaystyle \frac{|-t^2+5|}{\sqrt{4t^2+1}}=1 \)

よって\( (-t^2+5)^2=4t^2+1 \)

整理すると

（以下同様）

＜解４＞　放物線に接する⇔判別式=0

円の接線の式が\( \displaystyle y=-\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}x+\frac{1}{\sin{\theta}}\)となるところは解１と同じ。これを放物線の式に代入すると

\( \displaystyle -\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}x+\frac{1}{\sin{\theta}} =x^2+5\)

両辺に\( \sin{\theta} \)をかけて整理すると

このxについての式の判別式が0になればいいから

（判別式）
\( =\cos^2{\theta} - 4\sin{\theta}(5\sin{\theta}-1)\\
=1-\sin^2{\theta}-20\sin^2{\theta}+4\sin{\theta}\\
=-(7\sin{\theta}+1)(3\sin{\theta}-1)\\
=0   ∴\sin{\theta}=-\frac{1}{7},\frac{1}{3}\)

よって

これを最初の式に代入すると

普通は放物線の式がある場合，＜解４＞のように片方は接線の式を立てた後判別式に持ち込みます。このやり方も理解しておくと計算ミスは減っていくでしょう。