空間の2直線の最短距離

上野竜生です。ねじれの位置にある空間上の2直線上にそれぞれ点P,QをとったときのPQの最小を考えましょう。

空間の2直線の最短距離

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裏技 共通接線

共通接線図1共通接線図2

2直線l,l’はねじれの位置にあるとする。l上に点P,l’上に点QをとるときPQの最小値を求めたい。

lとl’をうまく回転させることで同一平面α(たとえば頭の中でイメージするならこれを読んでいる机と平行な面)に2直線を配置することができる。

左の図のようにPQがlともl’とも垂直になるときを考える。このときの距離をdとする。

今度は右の図のように平面αを見る向き(机の上から見る向き)で考える。P’,Q’を少なくとも1つはP,Qとは異なる点にとったとしよう。するとP’Q’の距離(「高さ」を無視して平面α上での距離)xは0より大きくなる。

高さも考慮するとP’Q’の距離は\(\sqrt{d^2+x^2}>d \)となるからP,Qと異なる点にとると距離はdより大きくなってしまう。

ゆえにPQが最小になるのはPQがl,l’の両方と垂直になるときである。

これを踏まえて以下の例題を考えてみましょう。答えのみでよい場合は共通垂線の考え方は計算量を減らすいいアイデアですが,記述式なら前者の解答のほうが説明力があったりします。

例題

A(0,0,0),B(1,2,3),C(4,5,-6),D(7,8,9)とする。直線AB上に点Pを,直線CD上に点Qを,PQが最小となるようにとる。P,Qの座標を求めよ。

地道に解く

P(t,2t,3t) , Q(4+3s, 5+3s , -6+15s)とおける。

PQ2=(3s-t+4)2+(3s-2t+5)2+(15s-3t-6)2
=9s2+t2+16-6st+24s-8t + 9s2+4t2+25-12st-20t+30s + 225s2+9t2+36-90st-180s+36t
=243s2+14t2-108st-126s+8t+77
\(=243(s-\frac{2}{9}t-\frac{7}{27})^2+2t^2-20t+\frac{182}{3} \\
=243(s-\frac{2}{9}t-\frac{7}{27})^2+2(t-5)^2+\frac{32}{3} \)

よって\( s-\frac{2}{9}t-\frac{7}{27}=0 , t-5=0\)のとき,つまり\( s=\frac{37}{27} , t=5\)のときPQ2は最小値\(\frac{32}{3} \)をとる。

このときPQも最小であるからP,Qの座標は\( P(5,10,15),Q(\frac{73}{9} , \frac{82}{9} , \frac{131}{9}) \)

共通垂線で解く

P(t,2t,3t) , Q(4+3s, 5+3s , -6+15s)とおける。

\(\vec{PQ}=(3s-t+4 , 3s-2t+5 , 15s-3t-6)\)

\(\vec{AB}\cdot \vec{PQ}=0 \)より
(3s-t+4)+2(3s-2t+5)+3(15s-3t-6)
=54s-14t-4=0

∴27s-7t-2=0・・・①

\(\vec{CD}=(3,3,15) \)

\(\vec{CD}\cdot \vec{PQ}=0 \)より
3(3s-t+4)+3(3s-2t+5)+15(15s-3t-6)
=243s-54t-63=0

∴27s-6t-7=0・・・②

①②より\(s=\frac{37}{27} , t=5\)

よって\( P(5,10,15),Q(\frac{73}{9} , \frac{82}{9} , \frac{131}{9}) \)

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