2点が一致する条件・3点が一直線上にある条件

上野竜生です。共点条件(2点が一致する条件)と共線条件(3点が一直線上にある条件)をベクトルで表現しましょう。

共点条件・共線条件

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共点条件(2点が一致する条件)

2点AとBが一致する
⇔ AとBの位置ベクトルが等しい

もし「AとBが一致することを示せ」と言われればAとBの位置ベクトルを調べてまったく同じであることを言えばOKです。なおたとえば点Cが固定されている場合,\(\vec{CA}=\vec{CB} \)を示してもいいでしょう。

共線条件(3点が同一直線上にある条件)

3点A,B,Cが同一直線上にある
⇔ \(\vec{AB}=k\vec{AC} \)となる実数kが存在する。

共線条件

図をイメージするとほとんど明らかですがkの存在を示せばOKです。つまりkを求めればよいのです。同一直線上にないときはこのようなkは存在しません。たとえばA(0,0),B(1,0),C(0,1)は明らかに同一直線上にはありません。実際に\(\vec{AB} ,\vec{AC} \)を計算してみると次を満たすkが存在すれば同一直線上にあることになります。
\(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0  \end{array} \right)=k\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1  \end{array} \right)\)

もちろん存在しないのでA,B,C同一直線上にはありません。

同一直線上にない場合

なお,A,B,Cの順番はどうでもいいので
\(\vec{AB}=k\vec{AC} \)となる実数kの存在を示しても
\(\vec{AC}=k\vec{AB} \)となる実数kの存在を示しても
\(\vec{BA}=k\vec{AC} \)となる実数kの存在を示しても構いません。

kの値が異なるだけで存在するか否かは変わりません。

例題

三角形ABCにおいて辺AB,BC,CAを3:1に内分する点をそれぞれD,E,Fとする。またDFを3:1に内分する点をPとする。三角形ABCの重心をG,三角形DEFの重心をHとするとき以下を示せ。
(1) GとHは一致する。
(2) 3点A,P,Gは同一直線上にある。
共点・共線条件の例題参考図
答え(1) A,B,Cの位置ベクトルをそれぞれ\(\vec{a},\vec{b},\vec{c} \)とする。
Gの位置ベクトルは\(\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)・・・①
D,E,Fの位置ベクトルはそれぞれ\(\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b} , \frac{1}{4}\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{c} , \frac{1}{4}\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{a}\)だから
Hの位置ベクトルは
\(\displaystyle \frac{(\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b})+(\frac{1}{4}\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{c})+(\frac{1}{4}\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{a})}{3}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)・・・②
①②よりG,Hの位置ベクトルが等しいのでGとHは一致する。
(2) \(\vec{AG}=k\vec{AP}\)となる実数kが存在することを示す。
\(\vec{AG}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{1}{3}\vec{AC} \)
\(\vec{AD}=\frac{3}{4} \vec{AB} , \vec{AF}=\frac{1}{4}\vec{AC} \)
\(\vec{AP}=\frac{\vec{AD}+3\vec{AF}}{4}=\frac{3}{16}\vec{AB}+\frac{3}{16}\vec{AC} \)
よって\(\vec{AG}=\frac{16}{9}\vec{AP} \)となるので3点A,G,Pは同一直線上にある。
kの存在だけを示せばOKですがこれは\(k=\frac{16}{9} \)という風に実際に求めておくとよりよいでしょう。

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