頻出!(x+y,xy)の動く領域

上野竜生です。今回は有名問題を紹介します。一見簡単ですが落とし穴があり,入試頻出問題で一般的な参考書でも紹介されている問題です。

(x+y,xy)の領域

実数x,yがx2+y2≦1を満たしながら動くとき、(x+y,xy)の動く領域を図示せよ。
答えx+y=u, xy=vとおく。
x2+y2=(x+y)2-2xy=u2-2v≦1・・・①
x,yはtについての2次方程式
t2-(x+y)t+xy=t2-ut+v=0の実数解だから判別式≧0
u2-4v≧0・・・②
これを図示すると下の通り。ただし境界はすべて含む。
例題の答え
【参考】
これにx≧0,y≧0という条件を付けることもよくあります。
この場合は
x≧0かつy≧0 ⇔ x+y≧0かつxy≧0
なのでu≧0かつv≧0となります。

①は基本中の基本ですが②の条件(実数条件)を忘れないようにすることがこの問題のポイントです。

初見ではじっくり考える良問ですが解答量もそれほど多くないので今では意外と小問集合で出されることもあり,じっくり考えている時間的余裕は与えてもらえないでしょう。なので知っている必要があります。

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