回転体の体積の求め方-一般論-

上野竜生です。回転体の体積を求める一般論を紹介します。

回転体の体積(一般論)

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超基本:y=f(x)とx=α,x=β,x軸で囲まれた部分をx軸中心に1回転

体積\(\displaystyle V=\int_{\alpha}^{\beta} \pi y^2 dx \) \(\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta} \pi f(x)^2 dx \)

被積分関数が円の面積の公式になっています。\( \pi f(x)^2 dx \)を微小な円柱と近似して(dxを微小な円柱の「高さ」と思う)それを足し合わせたもの(∫)と理解しましょう。

ここからいろいろな応用例を見ていきます

例1: y=f(x)とy=g(x)の交点がx=α,βのとき囲まれた部分をx軸中心に1回転

f(x),g(x),0との大小関係で計算式が変わります。

・f(x)>g(x)>0ならその部分の”円柱”の体積は
\( \pi (f(x)^2-g(x)^2)dx \)になります。

f>g>0のときの回転体の体積

・f(x)>0>g(x)の部分の”円柱”の体積は
|f(x)|≧|g(x)|のとき\( \pi f(x)^2 dx \)
|f(x)|<|g(x)|のとき\( \pi g(x)^2 dx \)になります。

f>0>gのときの回転体の体積

・0>f(x)>g(x)ならその部分の”円柱”の体積は
\( \pi (g(x)^2-f(x)^2) dx \)となります。

なので場合分けして計算し,それらの合計を求めることになります。

いずれも円柱の形をイメージし(回転体という立体をイメージする必要はなく,円柱の足し合わせと考えたときの円柱の底面という平面をイメージすればOK),底面積を求めることが重要です。

例題:\(y=-x^2+3x+1\)と\(y=x^2-4\)で囲まれる部分のうち,x≧0の部分を1回転させてできる立体の体積を求める積分の式は?

答えf(x)=-x2+3x+1,g(x)=x2-4とする。

f(0)=1,g(0)=-4よりx=0からあるところまではπg(x)2の積分となる。

境界を求める。f(x)=-g(x)を解くとx=1

よってx=0から1まではπg(x)2の積分

1≦x≦2では|f(x)|>|g(x)|よりπf(x)2の積分

2≦x≦2.5ではπ{f(x)2-g(x)2}の積分。

以上より求める式は

\( \displaystyle \int_0^1 \pi g(x)^2 dx + \int_1^2 \pi f(x)^2 dx +\int_2^{\frac{5}{2}} \pi \{f(x)^2-g(x)^2 \} dx \)

回転体 例題の解説赤いグラフがy=f(x)青い実線グラフがy=g(x) (点線はy=|g(x)|)

求める体積は緑+水色を回転させた部分だがy≦0の部分がややこしいのでx軸で折り返し黄色+緑色を回転させたものと考える。

すると0≦x≦1ではx軸と青い線(|g(x)|)で囲まれている。→πg(x)2
1≦x≦2ではx軸赤い線(f(x))で囲まれている→πf(x)2
2≦x≦2.5では青い線赤い線で囲まれている→
x軸で囲まれたもの」-「x軸で囲まれたもの」=π{f(x)2g(x)2}
と考えることができる。

最後の答えは場合分けして答えるのではなくそれらを足し算することに注意

このような場合y=|f(x)|のグラフとy=|g(x)|のグラフを書くとわかりやすいです。

例2: y軸を中心に1回転させる・・・基本

yとxを入れ替えます。なのでx=g(y)とy=α,β,y軸で囲まれる部分をy軸中心に1回転させた体積は

\( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \pi g(y)^2 dy \)

となります。この場合x=g(y)に直す必要がありますが,実はバウムクーヘン積分という,y=f(x)のまま計算する方法もあります。

例3: y軸を中心に1回転・・・バウムクーヘン積分

y=f(x)とx=α,β(0≦α<β),x軸で囲まれる部分をy軸を中心に1回転させてできる立体の体積は

\( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi x |f(x)| dx \)

イメージとしては\( 2\pi x \)が半径xの円の円周です。それに|f(x)|をかけると円柱の側面積がえられます。これをy軸の外側に向かってdxだけ移動させたときの通過領域の体積はdxが微小なので\( 2\pi x |f(x)| dx \)で近似できます。これを積分したものと考えることができます。

なお,この積分は簡単な証明をつけて使用するほうが良いでしょう。

例4:媒介変数表示のとき

基本の式\( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \pi y^2 dx \)に代入します。

x=x(t) , y=y(t)とすると

\( y^2 \)の部分は\( y(t)^2 \)にすればOKです。

積分区間はx=αからx=βまでなのでx(t)=αとなるt=α’とx(t)=βとなるt=β’を用いてt:α’→β’まで積分する必要があります。

最後にdxをdtに直さないといけませんがx=x(t)をtで微分すると
\( \frac{dx}{dt}=x'(t) \)となるのでdx=x'(t)dtとすることができます。これをまとめると

\( \displaystyle V=\int_{\alpha’}^{\beta’} \pi y(t)^2 x'(t)dt \)

と計算することができます。ちなみに基本的にこれでOKなのですが記述式の場合はもっと丁寧に書く必要があるときもあります。(→具体例:カージオイドの回転体の記事へ)

例5:パップスギュルダンの定理

回転軸と交わらない図形Dを1回転させてできる立体の体積
=Dの面積×Dの重心が移動する距離

証明は複雑なので省略します。証明が複雑ということは証明なしで使用すると減点のリスクがあります。なのであまり使わないほうがいいです(他の方法で求められるならそれで求め,検算に使う)

出題者がこの定理を知らない場合:証明なしで使うと説明不足扱いになりやすい
出題者がこの定理を知ってる場合:この方法では解けないように作り直されやすい

ということでほぼこの定理の出番はありません。

数IIIが出題範囲になっている場合,回転体の体積は頻出です。ここはあくまで一般論なので具体例をのせていませんがなるべく具体的な関数で実際に計算してみることをオススメします。

クイズ

Q1

図のように放物線y=x2とx軸,x=1で囲まれる部分をx軸を中心に1回転させてできる回転体の体積は「何分のπ」?

回転体 問1
2
3
4
5

正解です !

間違っています !

Q2

f(x)=sinx+4 , g(x)=2sin(2x)-20とする。

y=f(x) 図の赤いグラフ と

y=g(x) 図の青いグラフ と

y軸とx=1で囲まれる部分(図の緑色の部分)をx軸を中心に1回転させてできる立体の体積は

回転体クイズ問2 式

である。空欄に入る式はどれか?(「X^2」はXの2乗の意味です)

回転体クイズ 問2の図
f(x)^2
g(x)^2
{f(x)-g(x)}^2
{f(x)^2 + g(x)^2}

正解です !

間違っています !

Q3

図のようにy=x3とy=1,x=2で囲まれる赤い部分をy軸を中心に1回転させてできる立体の体積を立式する。

回転体クイズ 問3

バウムクーヘン積分などではなくyで積分するとその式は

回転体クイズ問3 式

となる。

 

(1) 定数aの値はどれ?
2の3乗根
2
8

正解です !

間違っています !

(2) 定数b,c,dの組み合わせは?
b=0, c=0, d=1
b=1, c=0, d=-1
b=4, c=-4, d=1
b=2, c=0, d=-1
b=4, c=0, d=-1

正解です !

間違っています !

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