数III積分 定期試験対策(模擬試験)

上野竜生です。数IIIの「積分」の章末問題として定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。

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解答上の注意

・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。

・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消えると萎えるので解答は紙にメモしながら解き、最後にまとめて入力することをオススメします。

・試験1日前に解くことも想定して一瞬で採点できるマークシート式の問題にしています。記述問題は選択問題にしかありませんが導出過程や証明も大事にしましょう。

解答用紙の記入の注意

空欄1つに2ケタ以上が入るかもしれません。1つの問に複数の空欄がある場合は半角カンマ(,)で区切って入力してください。なお必ず整数値を入力してください(下の例2参照)

例1: [ア]\(\sqrt{[イ]}\)に\( 12\sqrt{2} \)と解答する場合 [ア,イ]の解答欄に12,2と入力しなさい。

例2: \([ア]x^2+[イ]x+[ウ] \)に\( x^2-x \)と解答する場合[ア,イ,ウ]の解答欄に1,-1,0と入力しなさい。

例3: アに選択肢③を解答する場合[ア]の解答欄に3と入力しなさい。

問題PDFはこちら

第1問(20点)

(1) 次の中で計算結果が0になるものをすべて選べ。[ア]

① \(\displaystyle \int_{-2}^2 x^2\cos^2{(x^3)} dx\)   ② \(\displaystyle \int_{-2}^2 x^4 dx \)
③ \(\displaystyle \int_{-2}^2 x^2 dx \)   ④ \(\displaystyle \int_{-2}^2 1 dx \)
⑤ \(\displaystyle \int_{-2}^2 2x^3\cos{(x^3)}dx \)   ⑥ \(\displaystyle \int_{-2}^2 2x^2\cos{(x^3)}dx \)
⑦ \(\displaystyle \int_{-2}^2 2x\cos{(x^3)} dx\)   ⑧ \(\displaystyle \int_{-2}^2 x^3 dx\)
⑨ \(\displaystyle \int_{-2}^2 x dx \)

(2) \(\displaystyle \int_{-2}^{2} |x\cos{(x^3)} +ax^2 + bx + c |^2 dx \)は\(\displaystyle a=[イ] , b=-\frac{\sin{[ウ]}}{[エ]} ,c=[オ] \)のとき
最小値\(\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]} + \frac{\sin{[ク]}}{[ケ]}- \frac{\sin^2{[コ]}}{[サ]}\)をとる。

第2問(20点)

\(\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{3}{2}\pi \)の範囲で\(y=|\sin{2x}|\)と\(y=\cos{x}\)で囲まれる2つの領域をDとする。

(1) Dの面積は\(\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}\)である。

(2) Dをx軸周りに1回転させてできる回転体の体積は\(\displaystyle \frac{\pi^2}{[セ]}+\frac{[ソ] \sqrt{[タ]} } {[チ] } \pi \)である。

第3問(20点)

2階微分可能な関数f(x)とg(x)は次の条件を満たす。

\[\displaystyle f(x)=3x^2-2x-1 + \int_0^x g(x-t)\sin{t} dt \]

\[\displaystyle f’’(x)=(x+5)e^x \]

このとき

\( f(x)=(x+[ツ] )e^x – [テ]x – [ト] \)であり,

\(g(x)=[ナ] (x+[ニ]) e^x -[ヌ] x^2 – [ネ]x -[ノ] \)である。

第4問(20点)

\(\displaystyle I_n=\int_0^1 \frac{x^{2n-2}}{1+x^2}dx \)とおく。

(1) \(\displaystyle I_1=\frac{\pi}{[ハ]} \)である。

(2) \(\displaystyle I_n+I_{n+1}= \frac{1}{[ヒ]n-[フ]} \)である。

(3) \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} I_n=[ヘ] \)である。

(4) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(4n-3)(4n-1)} = \frac{\pi}{[ホ]} \)である。

(5) \(\displaystyle a_n=\frac{\pi}{[ホ]}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{(4k-3)(4k-1)} \)とする。\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} na_n=\frac{1}{[マ]} \)である。

第5問(20点)

\(\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2 (0\leq x \leq 3) \)をy軸周りに1回転させてできる容器がある。この容器を傾けずに水が最大まで入るようにする。

(1) この容器に水を入れるとき水は\(\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}\pi \)入る。

(2) この容器に最大まで水が入った状態から半径3の鉄球をそっと沈める。このとき鉄球の中心は原点から\(\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \)離れた位置に来るため,\(\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}\pi \)の水がこぼれる。

(3) この容器を45度傾けると水がこぼれる。残った水の体積を求めたい。容器の上部分の領域は\(\displaystyle y\geq \frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}z^2 \)とかける。また,こぼれたあとの水が残っている部分は\(y\leq x\)とかける。この共通部分の領域が残った水の部分である。平面x=tで切断したとき、水が残っている部分の面積は
\[\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]} ([リ]t-t^2)^{\frac{[ル]}{[レ]}}\]であるから残った水の体積は\(\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワ]}\pi \)である。

(問題は以上で終わりである。)

解答用紙

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