部分積分~どっちを微分する?~

上野竜生です。部分積分の基本の公式と実際の適用パターンについて紹介します。

部分積分

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部分積分の公式

\( \displaystyle \int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx \)
定積分の場合
\( \displaystyle \int_a^b f'(x)g(x)dx =[f(x)g(x)]_a^b – \int_a^b f(x)g'(x) dx \)

[証明] 不定積分のほうだけ示せば良い。(定積分は不定積分にx=bを代入したものからx=aを代入したものを引くわけだが不定積分の式が示せれば定積分の式はその形になってるので明らか)

積の微分の公式より{f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

積分するとf(x)g(x)=∫f'(x)g(x)dx + ∫f(x)g'(x)dx (+C)

移項すれば求める式を得る。(定数項の違いは不定積分では無視できる。定積分でも引き算するときに打ち消し合うので無視できる)

<注意>
公式そのものを暗記してもたぶん使いこなせていません。実際に計算練習しましょう。
また,積分するときどちらをf'(x)とみてどちらをg(x)でみるかはこの公式だけではわかりません。いろいろ経験してみてわかるようになります。
式変形でサラっと書いてますが左辺はf'(x)なのに右辺はf(x)になっていますから式変形するときどさくさに紛れて(頭の中で・もしくは計算用紙で)積分をすることになります。

パターン1:(多項式)×f(x)の形

多項式は微分していくうちに定数になりますので多項式のほうを微分,f(x)のほうを積分するのが普通です。ただし,f(x)の積分がわからない場合,f(x)を微分して多項式を積分する考えに切り替えることも重要です。

f(x)が多項式の例

例題1:次の不定積分を計算せよ
∫ x(x+2)2 dx

xを微分し(x+2)2を積分するか(x+2)2を微分しxを積分するかですが理論上どちらでもできます。しかしxを微分すると1になり,計算が楽になりそうなのでxを微分する方法をとるほうがいいでしょう。

答えx(x+2)2dx

=x\(\frac13\)(x+2)3 – ∫1\(\frac13\)(x+2)3 dx

=\(\frac13\)x(x+2)3-\(\frac13\)∫(x+2)3dx

=\(\frac13\)x(x+2)3-\(\frac{1}{12}\)(x+2)4+C

ちなみに(x+2)2を微分しxを積分する方針だと次のように2回部分積分をすることになります。((x+2)2を定数にするまでに2回微分する必要があるため)

\( \int x(x+2)^2 dx \\
=\frac{1}{2}x^2 (x+2)^2 -\int \frac12 x^2 \cdot 2(x+2)dx\\
=\frac12 x^2 (x+2)^2-\int x^2(x+2)dx\\
=\frac12 x^2 (x+2)^2 – \{\frac13 x^3 (x+2)- \int \frac13 x^3 dx\}\\
=\frac12 x^2 (x+2)^2 – \frac13 x^3(x+2) +\frac{1}{12}x^4 +C \)

このようにどちらを微分するかの選択を間違えると最後まで計算できない・または計算量が膨大になってしまいます。

今回の例1ではf(x)が多項式なのでどちらを微分しても同じレベル(計算量の違いのみ)ですし,x(x+2)2なら展開したり(x+2)3-2(x+2)2としても計算できますが部分積分の効果が表れるのはf(x)が三角関数などの多項式以外のときです。

f(x)が三角関数の例

例題2 ∫2xsinx dx

2xを積分してsinxを微分した場合

x2sinx-∫x2cosxdxとなります。この式変形は正しいのですがここから計算ができません

(ちなみにx2を積分してcosxを微分するとどんどんxの指数が増大して永遠終わりませんし,逆にx2を微分してcosxを積分するともとの問題に戻ってしまいます。部分積分を学習したばかりの人あるあるです笑)

先ほどと違い計算量とかの問題ではなくこちらの方針では解けないということになります。

2xを微分してsinxを積分した場合

答え2xsinxdx

=2x(-cosx) -∫2(-cosx)dx

=-2xcosx+∫2cosxdx

=-2xcosx+2sinx+C

f(x)が指数関数の例

例題3:\( \displaystyle \int_0^1 x^2 e^x dx \)

定積分ですが値を代入するだけで同様です。代入計算が複雑になる時もあれば,逆に代入結果,0が出てきて楽になるときもあります。

先ほどと同様の理由でx2を微分して次数を下げないと詰みます。また2回微分しないと定数になってくれないので部分積分を2回繰り返す必要があります。その覚悟はしておきましょう。

答え\( \displaystyle \int_0^1 x^2 e^x dx\\
=\displaystyle [x^2 e^x]_0^1 – \int_0^1 2xe^x dx \\
=\displaystyle e-([2xe^x]_0^1 – \int_0^1 2e^x dx)\\
=\displaystyle e-2e+2\int_0^1 e^x dx \\
=\displaystyle -e+2[e^x]_0^1\\
=-e+2e-2\\=e-2\)

f(x)が対数関数の例

対数関数の積分を知っていれば通常通り多項式を微分する方針でもいいのですが,知らなければその方針は使えないので多項式を積分する方針を取ります。

例題4: \(\displaystyle \int x \log{x} dx \)
答え\(\displaystyle \int x \log{x} dx \\
=\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \log{x}-\int \frac{1}{2}x^2 \frac{1}{x} dx \\=\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \log{x} – \frac{1}{4}x^2 +C\)
なおlogxの積分は次のようにします。重要なので覚えておきましょう。
logx=1×logx=(x)’×logxとみなし,1を積分・logxを微分します。
∫logx dx=xlogx – ∫x・(1/x) dx=xlogx – x+C

パターン2:指数関数×三角関数

部分積分を使わない裏技もありますが,部分積分で練習します。少し変わった例なので必ず練習しておきましょう。

例題5:\( I=\int e^x \sin{x} dx \)

exもsinxも微分積分が容易なのでどちらを基準にしてもかまわない。ここではexを積分し続ける方針を取る。

答え\( \displaystyle I= e^x \sin{x}-\int e^x \cos{x} dx \\
=\displaystyle e^x\sin{x}-e^x\cos{x}+\int e^x (-\sin{x}) dx \\
=\displaystyle e^x\sin{x}-e^x\cos{x}-I \)
よって\( 2I= e^x\sin{x}-e^x\cos{x} \)となるので
\( I=\frac{1}{2}(e^x\sin{x}-e^x\cos{x})+C \)

Iは不定積分なので最後に積分定数を書けば完成です。このように部分積分をしているうちに「I=(xの式)-I」の形になることがあるのでそのときはIを移項するのがポイントです。

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