積分方程式の基本(数IIレベル)

上野竜生です。積分方程式の基本を解説します。

積分方程式(数II範囲)

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このページで扱うこと・扱わないこと

主に文系範囲でできる解法を紹介します。主に3パターンです

・\(\displaystyle \int_a^b f(t)dt \)はただの定数であることを利用する。
・\(\displaystyle \int_a^x f(t)dt \)をxで微分するとf(x)になることを利用する。
・\(\displaystyle \int_a^x f(t)dt \)にx=aを代入すると0になることを利用する。

そして一般の積分方程式では使うテクニックでもこのページではやらないこと(文系の範囲外)は次のものです。

×:答えが多項式以外になるもの

×:部分積分,置換積分,積の微分,合成関数の微分を使うもの

まずオレンジ色で囲んだ3つの性質を解説します。1つ目と3つ目は明らかですね。なので2番目の性質を示します。

f(t)の原始関数(つまり不定積分の1つ)をF(t)とおくと
\( \displaystyle \int_a^x f(t)dt =[F(t)]_a^x = F(x)-F(a) \)
よってこれをxで微分するとf(x)となる。(F(a)はxに依存しないただの定数なので微分すると0)

理由も覚えておけば多少の変形には対応できるはずです。微分した結果にaは入ってこないことに注意しましょう。

例題1:\(\displaystyle f(x)=x^3 +x\int_0^1 f(t)dt \)を満たす関数f(x)を求めよ。

重要なのは∫部分はただの定積分なので関数ではなくただの実数であるということです。なので問題文の段階でf(x)は多項式,特に3次関数で,x2の係数と定数項は0,x3の係数が1だとわかります。つまりf(x)=x3+axとまですぐにわかります。あとはaを求めるだけです。

答えf(x)=x3+axとおき,もとの式に代入すると

x3+ax=x3+x(\(\int_0^1 t^3+at dt \))

係数比較すると1=1かつ

\( a=\int_0^1 t^3+at dt \)

右辺を計算すると

\( [\frac{1}{4}t^4+\frac{1}{2}at^2]_0^1=\frac{1}{4}+ \frac{1}{2}a \)

よって\( a=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a   a=\frac12\)

ゆえに\(f(x)=x^3+\frac12 x\)

例題2:\(\displaystyle  \int_2^x f(t)dt = x^3-a \)を満たすとき
(1) aの値を求めよ。
(2) 関数f(x)を求めよ。

数IIの範囲といったので多項式と決めつけたいところですが問題文には多項式だとか3次関数だとか書かれていません。なので一般の場合(もしかしたらsinxかもしれない)で通用する方法を使わないといけません。(白紙にするぐらいなら多項式と仮定して求めるほうがいいかも・・・)

(1)求めるのは定数1つだけなのでまだ楽でしょう。この問題ではx=2を代入するのが正解です。左辺の積分は2→xの積分なのでx=2を代入すると左辺は0となり普通の方程式になります。

(2)多項式かどうかもわからないf(x)を求めるのは大変そうですが積分区間にxがあるので微分する方針を考えましょう。

答え(1)x=2を代入すると0=8-a よってa=8

(2)両辺をxで微分するとf(x)=3x2

例題3:\(\displaystyle f(x)=x^2+\int_0^1 (x-t)f(t) dt – \int_3^x f'(t)dt \)を満たす関数f(x)を求めよ。

変則パターンの問題です。注意してほしいのは

・最初の積分は積分区間にxを含みませんが被積分関数にxを含むため単純な定数ではありません。→(x-t)f(t)=xf(t)-tf(t)と展開しxを∫の外に出せば定積分の部分を定数とみなすことができます。つまり○x+△の形でおくことができます。

・2個目の積分の中身がf'(t)であり,不定積分の1つがf(t)だとすぐわかるので微分しなくてもできる

ということです。

答え\( \displaystyle f(x)=x^2 + x\int_0^1 f(t)dt – \int_0^1 tf(t) dt -[f(t)]_3^x\\
=\displaystyle x^2 +x\int_0^1 f(t)dt – \int_0^1 tf(t) dt – f(x)+f(3) \)
よりf(x)を移項して整理すると\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x \int_0^1 f(t)dt – \frac{1}{2}\int_0^1 tf(t)dt + \frac{1}{2}f(3) \)となり2次式であることがわかるので\( f(x)=\frac{1}{2}x^2 + ax +b \)とおく。これを代入して係数比較すると\(\displaystyle a=\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{2}t^2 +at+b dt=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b \)

\(\displaystyle b=-\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{2}t^3+at^2+bt dt+\frac{9}{4}+\frac{3}{2}a+\frac{b}{2} \\
=\displaystyle -\frac{1}{16}-\frac{1}{6}a-\frac{1}{4}b + \frac{9}{4}+\frac{3}{2}a+\frac{b}{2}\\
=\displaystyle \frac{4}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{35}{16} \)

つまり

\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{4}a-\frac{1}{2}b=\frac{1}{12} \\ \frac{4}{3}a-\frac{3}{4}b=-\frac{35}{16} \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

を解けばよい。これを解くと\(\displaystyle a=-\frac{111}{10} , b=-\frac{1009}{60} \)となり

\(\displaystyle  f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{111}{10}x-\frac{1009}{60} \)

特に問題集や入試問題からパクったのではなくオリジナルの問題なので計算はきれいにならず申し訳ありませんでしたが方針は理解しておきましょう。

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