積分の計算(三角関数関連)

上野竜生です。積分の計算は奥が深いです。ここでは三角関数に関連する積分を扱います。

三角関数の積分

なおすべて積分定数は省略します。

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基本計算

\( \displaystyle \int \sin{x} dx=-\cos{x}\)
\( \displaystyle \int \cos{x} dx=\sin{x}\)

これは基本です。マイナスがあるかどうかというのは1度計算してみてその結果を微分して元に戻るか確かめればOKです。

sinやcosのn乗の計算

1乗はすでに示しました。2乗以上の計算を考えます。

奇数乗のとき

sinやcosをtとおけば置換積分が可能です。

例: \( \displaystyle \int \sin^5{x}dx = \int (1-\cos^2{x})^2 \sin{x} dx\)

\(t=\cos{x} \)とおくと\( \int (1-t^2)^2 \cdot (-1) dt\)となり,

\( \displaystyle – \int (t^4-2t^2+1) dt=-\frac{1}{5}t^5+\frac{2}{3}t^3-t=-\frac{1}{5}\cos^5{x}+\frac{2}{3}\cos^3{x}-\cos{x}\)

偶数乗のとき

半角の公式を用いて次数を半分に下げましょう。そのうちに奇数乗になります。

例:\( \displaystyle \int \sin^6{x} dx \\
\displaystyle = \int  \left( \frac{1-\cos{2x}}{2} \right)^3 dx \\
\displaystyle = \int \left( \frac{1}{8}-\frac{3}{8}\cos{2x}+\frac{3}{8}\cos^2{2x}-\frac{1}{8}\cos^3{2x}  \right) dx \\
\displaystyle = \frac{1}{8}x – \frac{3}{16}\sin{2x} + \frac{3}{8}I-\frac{1}{8}J\)

ただし,

\( \displaystyle I=\int \cos^2{2x} dx= \int \frac{1+\cos{4x}}{2} dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin{4x}\)

\( \displaystyle J=\int \cos^3{2x} dx=\int (1-\sin^2{2x})\cos{2x} dx\)
\(t=\sin{2x}\)とおくと
\( \displaystyle J=\int (1-t^2)dt=t-\frac{1}{3}t^3=\sin{2x}-\frac{1}{3}\sin^3{2x}\)

よって

\( \displaystyle \frac{1}{8}x-\frac{3}{16}\sin{2x}+\frac{3}{16}x+\frac{3}{64}\sin{4x}-\frac{1}{8}\sin{2x}+\frac{1}{24}\sin^3{2x} \\
=\displaystyle \frac{5}{16}x-\frac{5}{16}\sin{2x}+\frac{3}{64}\sin{4x}+\frac{1}{24}\sin^3{2x}\)

sinとcosがかかっているとき

先ほどと同様に2倍角の公式などを用いて角がxになるようにすべて展開した結果,置換積分の形(奇数乗の例のような形)になればそれでOKですが,それが面倒なときもあります。

そういうときは積和の公式を用います。

例:\( \displaystyle \int \sin{7x}\sin{x} dx \\
\displaystyle = \int -\frac{1}{2} \left( \cos{8x}-\cos{6x} \right) dx \\
\displaystyle = \int \frac{1}{2}\cos{6x}-\frac{1}{2}\cos{8x} dx \\
\displaystyle = \frac{1}{12}\sin{6x}-\frac{1}{16}\sin{8x}\)

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