∫1/sinx dxや∫1/cosx dxの計算

上野竜生です。\(\int \frac{1}{\sin{x}}dx , \int \frac{1}{\cos{x}}dx \)の計算は今まで通り計算できますがこの2つを2パターンで解いてみたいと思います。

1/sinx,1/cosxの積分

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\( \displaystyle \int \frac{dx}{\sin{x}} \)

方法1: 分母分子にsinxをかけて分母を1-cos2xに直し,t=cosxとおく。

最も思いつきやすい方法ですし,いろいろな積分のテクニックを使います。実際に計算してみます。

\( \displaystyle \int \frac{dx}{\sin{x}} = \int \frac{\sin{x}dx}{\sin^2{x}}=\int \frac{\sin{x}dx}{1-\cos^2{x}} \)

ここで\( t=\cos{x} \)とおくと\( \frac{dt}{dx}=-\sin{x} \)なので

\( \displaystyle \int \frac{-dt}{1-t^2}=\int \frac{1}{2} \left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right) dt \\
=\displaystyle \frac{1}{2}(\log{|t-1|}-\log{|t+1|})+C\\
=\displaystyle \frac{1}{2}\log{\left|\frac{\cos{x}-1}{\cos{x}+1}\right|}+C=\frac{1}{2}\log{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}+C \)

ただしCは積分定数。

方法2: 分母を2倍角の公式で展開し分母分子を\( \cos^2{\frac{x}{2}} \)で割る

次に有名な方法です。一応のせますが,アイデアが難しいのでよっぽどでない限り方法1をオススメします。

\(\displaystyle \int \frac{dx}{\sin{x}}=\int \frac{dx}{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}=\int \frac{\frac{dx}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{2\tan{\frac{x}{2}}}\)

ここで\( t=\tan{\frac{x}{2}} \)とおく
\( \displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\cos^2{\frac{x}{2}}} \)なので

\( \displaystyle \int \frac{1}{t}dt = \log{|t|}+C=\log{\left|\tan{\frac{x}{2}}\right|}+C \)

と求めることができました。

結局t=tan(x/2)と置換するので最初からt=tan(x/2)と置換しても求められます。ただ,最初から置換すると計算がやや面倒です。

他の解法を紹介しているサイトもありますが実質この2パターンのどちらかですし,現実的に使うことはないのでここでやめておきます。

解法1の結果と解法2の結果は等しいの?

ぱっと見では異なる答えになってますが実はどちらも正しいです。解法1の答えと解法2の答えが等しいことを証明してみます。

[証明]

\( \displaystyle \frac{1}{2}\log{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}- \log{\left|\tan{\frac{x}{2}}\right|} \)が定数となることを示せば良い。(積分定数の違いは無視できるので必ずしも0でなくても良い

半角の公式より

\(\displaystyle \frac{1}{2}\log{\frac{2\sin^2{\frac{x}{2}}}{2\cos^2{\frac{x}{2}}}}-\log{\left|\tan{\frac{x}{2}}\right|}\\
=\frac{1}{2}\log{(\tan{\frac{x}{2}})^2}-\log{\left|\tan{\frac{x}{2}}\right|}\\
=0 \)

(Q.E.D.)

それでは次にcosのほうの積分を考えてみます。

\( \displaystyle \int \frac{dx}{\cos{x}} \)

方法1: 分母分子にcosxをかけて分母を1-sin2xに直し,t=sinxとおく。

さっきと同様にできます。一応示しておきます。

\( \displaystyle \int \frac{dx}{\cos{x}} = \int \frac{\cos{x}dx}{\cos^2{x}}=\int \frac{\cos{x}dx}{1-\sin^2{x}} \)

ここで\( t=\sin{x} \)とおくと\( \frac{dt}{dx}=\cos{x} \)なので

\( \displaystyle \int \frac{dt}{1-t^2}=\int \frac{1}{2} \left(\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t-1}\right) dt \\
=\displaystyle \frac{1}{2}(\log{|t+1|}-\log{|t-1|})+C\\
=\displaystyle \frac{1}{2}\log{\left|\frac{\sin{x}+1}{\sin{x}-1}\right|}+C=\frac{1}{2}\log{\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}}+C \)

ただしCは積分定数。

方法2: 1/sinxの解法2と同様に・・・?

同様にはできません。なぜならsinxとcosxでは2倍角の公式の形が異なるからです。このような場合\( \cos{x}=\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}\)を利用して解くことになります。

ここまでくるとこの解法のありがたみは薄れてきます・・・。一応明示します。なお置換しなくても\( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx= \log{|f(x)|}+C \)を公式として利用すれば楽なので利用します。

\(\displaystyle \int \frac{dx}{\cos{x}}=\int \frac{dx}{\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}}\\ =\displaystyle \int \frac{dx}{2\sin{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}\cos{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}}=\int \frac{\frac{dx}{\cos^2{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}}}{2\tan{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}}\\
=\displaystyle \int \frac{-\{\tan{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}\}’}{\tan{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}}\\
=\displaystyle -\log{\left|\tan{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}\right|}+C\)

とりあえず受験生はどちらも方法1で計算できるようになれば十分でしょう。

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