複数の文字の因数分解は次数の低いものについて整理せよ

上野竜生です。1変数ではなくしかも対称式でもなく,たすき掛けでもないような式の因数分解の方法を勉強しましょう。たとえばxについては3次式,yについては2次式のときxで頑張るかyで頑張るかで難易度は圧倒的に違うのです。

複数の文字の因数分解

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原理上はどちらでもできます

xについて:3次式
yについて:2次式

通常これは次数の低い文字である「y」で整理します。もし逆に「x」で整理しても難易度が上がるだけで原理的には因数分解は可能です。

降べきの順に整理することが重要

問題文ではxについて降べきの順に並んでいたとしてもyで整理すると決めたらyについて降べきの順に整理することが重要です。そうすることで式が見やすくなります。

例題

例題1:x2-ax+3a-9を因数分解せよ。

この程度ならなんとでもなりますね。一応いろいろやってみます。まずは次数の低い文字について整理する方法です。

この中でxについて整理すると2次式,aについて整理すると1次式なのでaについて整理します。

答えx2-ax+3a-9
=(-x+3)a+x2-9
=-(x-3)a+(x-3)(x+3)
=(x-3)(-a+x+3)

xのままやっても2次式なのでできなくはないです。たとえば和が「a」で積が「3a-9」になる2つの組3,a-3を見つければできます。しかし見つけにくいです。

(x-3)(x-a+3)と書くほうが見やすいので最後に整理するともっと良いです。

あるいは2次方程式の解の公式でx2-ax+3a-9=0の解がx=3,a-3になることを計算すれば因数分解できます。

しかしこれは2次式ならではの方法です。3次式以上はかなり難易度があがるのでなるべく2次以下の文字で整理したいところです。次の例題を見てみましょう。

例題2:a3+2a2b+2a2+ab-6b2を因数分解せよ。

これはaについては3次式なので厳しいです。bについて整理しましょう。

答えa3+2a2b+2a2+ab-6b2
=-6b2+(2a2+a)b+(a3+2a2)
=-6b2+a(2a+1)b+a2(a+2)
=(-3b+ a(a+2) )(2b+a)
=(a2+2a-3b)(a+2b)

なおbの2次式の因数分解はたすき掛けで行っていますが解の公式を使い

6b2-a(2a+1)b-a2(a+2)=0の解が
\( \displaystyle b=\frac{a(2a+1)\pm\sqrt {a^2(4a^2+4a+1)+24a^2(a+2)}}{12} \\
=\displaystyle \frac{2a^2+a \pm \sqrt{(2a^2+7a)^2}}{12} \\
=\displaystyle -\frac{1}{2}a , \frac{a^2+2a}{3} \)

であることから
\( -6b^2 +a(2a+1)b+a^2(a+2)\\
=\displaystyle -6\left(b+\frac{1}{2}a\right)\left(b-\frac{a^2+2a}{3}\right) \\
=(2b+a)(-3b+a^2+2a) \)

と因数分解することもできます。

たすき掛けで因数分解

最後にもう1つだけ例題を出します。こちらの方が簡単ですしよくあるパターンです。

例題3:x2y+x2-5xy-6x+6y+8を因数分解せよ。
答えx2y+x2-5xy-6x+6y+8
=(x2-5x+6)y+(x2-6x+8)
=(x-2)(x-3)y+(x-2)(x-4)
=(x-2){(x-3)y+(x-4)}
=(x-2)(xy-3y+x-4)

yについて整理するとyの係数と定数項が因数分解でき,その結果同じ(x-2)を因数に持つためものすごく計算が簡単になっています。

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