平均値の定理とその入試問題的応用

上野竜生です。平均値の定理はそれほど目立った定理ではなく手薄になりがちです。逆に言うと問題のパターンが少なく平均値の定理が使えそうなパターンが来たら「あ!これは平均値かも!」と感じることができます。

平均値の定理

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平均値の定理

a<bとする。f(x)はa≦x≦bで連続でa<x<bで微分可能な関数とする。このとき次を満たすcがa<c<bの範囲に存在する。

\( \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \)

左辺は(a,f(a))と(b,f(b))を結ぶ線の傾き,右辺は微分係数なので接線の傾きですね。a<c<bの範囲にぴったり一致するところが必ず存在するという定理です。

平均値の定理の図形的意味

この定理の左辺はかなり特徴的でb-aやf(b)-f(a)があります。これを見たら平均値の定理使いそう!と思っていいでしょう。

例題

例題:\( 0<a<b<\frac{\pi}{2}\)とするとき,次の不等式を証明せよ
\(a-b<\cos{b}-\cos{a}<0\)

答え右側は明らか(cosxは0<x<\(\frac{\pi}{2}\)で単調減少なので)

左側については次の式を示せばよい。

\( \displaystyle \frac{\cos{b}-\cos{a}}{b-a}>-1 \)

f(x)=cosxとおくと平均値の定理より

\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \)となるcがa<c<bの範囲に存在する。

f'(c)=-sincであり0<c<\( \frac{\pi}{2}\)から-sinc>-1なので

\( \displaystyle \frac{\cos{b}-\cos{a}}{b-a}=-\sin{c}>-1\)となり題意は成立。

このように平均値の定理でcの式にした後,その値を評価するのがポイントです。そのときcの範囲はa,bの範囲に依存します。たとえば今回の場合でも-sinc≧-1までは明らかですがイコールを外しているのは0<a<c<b<\(\frac{\pi}{2}\)より0<c<\(\frac{\pi}{2}\)だから-1<-sinc<0となる(等号を含まない)わけです。

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