逆関数の定義・求め方

上野竜生です。今回は逆関数の定義や求め方を学習します。

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定義

y=f(x)をx=f-1(y)の形に式変形するときf-1をfの逆関数という。
つまりy=f(x)⇔x=f-1(y)

そもそも関数というのはxの値が1つ定まればyの値もただ1つに定まるものでした。
なのでfが関数でもf-1が必ずしも関数になるとは限りません。関数になるにはy=f(x)のyを1つ定めればそれに対応するxがただ1つ存在しなければなりません。
つまりxとyが1対1対応する関数でないと逆”関数”というものはないのです。

注意

1 \(\displaystyle f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)} \)である。つまり一般には逆数をとるというわけではない。

2 \( (f^{-1})^{-1}=f \)。つまり逆関数の逆関数は元の関数。

3 y=f(x)と\( y=f^{-1} (x) \)のグラフはy=xに関して対称である。

逆関数の求め方

POINTstep1

元の関数の値域(yの範囲)を求める。これが逆関数の定義域である。

step2 元の関数のxとyを入れ替える。
「y=(xの式)」で定義されていたら「x=(yの式)」
f(x)=(xの式)と書かれていてもy=f(x)とみてやる。つまり「y=(xの式)」と書かれているとみて、step2では「x=(yの式)」とする。

step3 step2で作った式をyについて解く。

step3で得られたxの式が逆関数であり、その定義域はstep1で求めたものである。

なんだかよくわからないっていう人は次の例題で確かめてください。

例題

次の逆関数を求めよ。
(1) y=3x+2 (x≧0)
(2) \( y=\sqrt{x-1} \)
(3) \(\displaystyle y=\frac{x+1}{x+2} \)
(4) \( f(x)=2+\log_2{(x+1)} \)

答え

(1) 元の関数の値域はy≧2
よって逆関数の定義域はx≧2
x=3y+2をyについて整理すると
\(\displaystyle y=\frac{1}{3}x – \frac{2}{3} \) (x≧2)

(2) 元の関数の値域はy≧0
よって逆関数の定義域はx≧0
\( x=\sqrt{y-1} \)をyについて整理すると
\( y=x^2+1 \) (x≧0)

(3) 元の関数の値域はy≠1
よって逆関数の定義域はx≠1
\(\displaystyle x=\frac{y+1}{y+2} \)をyについて解く。両辺を(y+2)倍して
\( xy+2x=y+1 \)
\( (x-1)y=1-2x \)
\(\displaystyle y=\frac{1-2x}{x-1} \)

(4) 元の関数の値域は実数全体なので
逆関数の定義域は実数全体
\( x=2+\log_2{(y+1)} \)をyについて解く。
\( x-2=\log_2{(y+1)} \)
\( 2^{x-2}=y+1 \)
\( y= 2^{x-2}-1 \)
よって\( f^{-1}(x)=2^{x-2}-1 \)

参考程度にグラフをかいてみました。もとの関数が赤、逆関数が青です。y=xに関して対称になっているのをよくチェックしてみてくださいね。

逆関数のグラフ

(4)のようにf(x)=・・・と書かれていてもy=・・・だと思って計算し最後に\( f^{-1}=\cdots \)の形で答えればいいでしょう。

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