合成関数の定義・求め方

上野竜生です。今回は合成関数の定義や求め方について紹介していきたいと思います。

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定義

f(x)の値域がg(x)の定義域に含まれているとき
y=g(f(x))を考えることができる。これをfとgの合成関数と言い\( (g\circ f)(x)\)と表す。
つまり

\((g\circ f)(x)=g(f(x))\)

注意

①\( (f\circ (g\circ h))(x)=((f\circ g)\circ h)(x) \)が成立する。

②\( (f\circ g)(x)=(g\circ f)(x) \)は成立するとは限らない

③\( (f^{-1} \circ f) (x)=( f\circ f^{-1})(x)=x \)となる。

④\( (f\circ g)^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x) \)が成り立つ。

[解説]

①どちらもf(g(h(x)))になるので等号は成立

②例題1で具体例を確認してください。

③y=f(x)のとき\( x=f^{-1}(y) \)なので\( (f^{-1} \circ f) (x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x \)。もう片方も同様。

④\( (f\circ g)(x)=f(g(x)) \)ですからこれを逆関数にするにはまずfのほうから逆関数を作用させて
\( f^{-1} (f(g(x)))=g(x) \)にしてからgの逆関数を作用させますね。g→fの順番に作用させたものを逆にたどるにはf→gの順番に戻していく必要があるのです。

例題1

f(x),g(x)が次の関数のとき\((f\circ g)(x),(g\circ f)(x)\)をそれぞれ求めよ。また定義域と値域を求めよ。
(1) \(f(x)=x+1 , g(x)=x^2+1\)
(2) \(f(x)=\sqrt{x+1} , g(x)=x^2+1 \)
答え(1)
\(\begin{eqnarray} (f\circ g)(x)=f(g(x)) &=& f(x^2+1) \\ &=& (x^2+1)+1 \\ &=& x^2+2 \end{eqnarray} \)
定義域は実数全体、値域は\( (f\circ g)(x) \geq 2\)
\(\begin{eqnarray} (g\circ f)(x)=g(f(x)) &=& g(x+1) \\ &=& (x+1)^2+1 \\ &=& x^2+2x+2 \end{eqnarray}\)
定義域は実数全体、値域は\( (g\circ f)(x) \geq 1\)
(2)
\(\begin{eqnarray} (f\circ g)(x)=f(g(x)) &=& f(x^2+1) \\ &=& \sqrt{(x^2+1)+1} \\ &=& \sqrt{x^2+2} \end{eqnarray} \)
定義域は実数全体、値域は\( (f\circ g)(x) \geq \sqrt{2}\)
\(\begin{eqnarray} (g\circ f)(x)=g(f(x)) &=& g(\sqrt{x+1}) \\ &=& (\sqrt{x+1})^2+1 \\ &=& x+2 \end{eqnarray}  \)
定義域はx≧-1、値域は\( (g\circ f)(x) \geq 1\)

例題2

f(x)が次で与えられているとき\(y=(f\circ f)(x)\)のグラフをかけ
(1) \(\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x-2} \)
(2) \( f(x)=| x^2-1| \)

答え

(1)定義域はx≠2であることに注意
\(\displaystyle (f\circ f)(x)=f\left(\frac{x+1}{x-2} \right) \\ \displaystyle = \frac{\frac{x+1}{x-2}+1}{\frac{x+1}{x-2}-2}=\frac{x+1+x-2}{x+1-2x+4} \\ =\displaystyle \frac{2x-1}{-x+5}=-2-\frac{11}{x-5} \)
よってグラフは下の通り。ただし(2,1)は除く
(1)の答え

(2) 定義域は実数全体
y=f(x)のグラフは下の通り
y=f(x)のグラフ

\( y=|f(x)^2 -1| \)
-1≦f(x)≦1のとき、つまり\(-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} \)のときは
\( y=1-f(x)^2=1-|x^2-1|^2 \\ =1-(x^2-1)^2=-x^4+2x^2 \)

f(x)<-1またはf(x)>1のとき、つまり
\(x<-\sqrt{2} , x>\sqrt{2} \)のときは
\( y=f(x)^2-1=|x^2-1|^2-1=x^4-2x^2\)

よって\( g(x)=x^4-2x^2 \)とおく
\( g'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1) \)
増減表は下のようになる。
\( \begin{array}{c|ccccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline g’(x) & – & 0 & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline g(x) & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow \end{array}\)

よってy=g(x)のグラフは下の通り。
y=g(x)のグラフ

求めるグラフは
\( x<-\sqrt{2} , x>\sqrt{2} \)のときy=g(x)で
\( -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} \)のときy=-g(x)だから下のグラフである。
(2)の答え

場合分けの練習として場合分けしましたが実際には場合分けする必要はなく
\( y=f(f(x))=f(|x^2-1|) \\ =||x^2-1|^2-1|=|(x^2-1)^2-1|\\ =|x^4-2x^2| \)
なのでy=|g(x)|のグラフとなるのはすぐにわかります。

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