関数の極限の求め方

上野竜生です。数列の極限のときに少しやりましたが関数にも極限があります。その求め方を紹介します。

関数の極限

基本は数列の極限の時と同じです。

\(\displaystyle  \lim_{x\to \infty} \)は全く同じと言ってもいいでしょう。実数の場合\(\displaystyle \lim_{x \to h} \)はhより大きいほうから近付くのかhより小さいほうから近付くのか両方考え,一致するときのみ定義されます。その点に注意しましょう。

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基本的な解法

\( \displaystyle \lim_{x \to h} f(x) \)を求めたい。f(h)を計算する。

・不定形でない(普通に計算できる)場合,f(h)が答え。[試験ではほぼ出ない]

不定形(0×∞ ,∞/∞ ∞-∞ , 0/0など)の場合,式変形を試みる。

0/0の場合

因数分解をします。たとえば

\(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+1)=2\)

なお,三角関数を含む場合(x→0など有限の値に近づける場合)

\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}}{x}=1 \)を使うことがほとんどです。これを使うように変形しましょう。

例:\( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin{5x}}{\sin{3x}}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin{5x}}{5x}\cdot \frac{3x}{\sin{3x}} \cdot \frac{5}{3} =1\cdot 1\cdot \frac{5}{3}=\frac{5}{3} \)

∞/∞の場合

最高時の係数で分母分子を割り算します。たとえば

\( \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{(2x+1)(x-8)}{3x^2+4}=\lim_{x\to \infty} \frac{(2+\frac{1}{x})(1-\frac{8}{x})}{3+\frac{4}{x^2}}=\frac{2}{3} \)

∞-∞の場合

最高時の係数をくくればできます。頻度が低いので具体例は省略します。いずれも\( x\to \infty\)の場合は数列の極限と同様にできます。

関数特有の注意事項

片側極限

\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \)は正のほうから0に近づけると∞,負のほうから0に近づけると-∞になります。このように極限が一致しない場合極限値は存在しない,ということになります。しかし,片側だけを考えて極限値を考えることもあります。このような場合次のように表記します。

\( \displaystyle \lim_{x\to +0} \frac{1}{x}=\infty , \lim_{x\to -0} \frac{1}{x}=-\infty\)

なお,0ではない場合はこんな書き方をします。

\( \displaystyle \lim_{x\to 1+0} \frac{1}{x-1}=\infty , \lim_{x\to 1-0} \frac{1}{x-1}=-\infty \)

-∞の極限

例題 次の極限を求めよ。
\( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \)

よくある失敗例は次の通り:

\( \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}=1 \)

これは間違いです。なぜならx<0のとき\( \sqrt{x^2}=-x \neq x\)だからです。

これを回避するにはまず,t=-xとおくのが良いでしょう。

正しい解答は次の通り:

\( \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t^2+1}}{-t}=\lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}}{-1}=-1\)

数列の極限の解法+これだけの解法を覚えておけばとりあえず困らないでしょう。

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