関数の極限の求め方 その1(定義と片側極限)

上野竜生です。数列の極限のときに少しやりましたが関数にも極限があります。その求め方を紹介します。

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基本的な解法

\( \displaystyle \lim_{x \to h} f(x) \)を求めたい。f(h)を計算する。

・不定形でない(普通に計算できる)場合,f(h)が答え。[試験ではほぼ出ない]

不定形(0×∞ ,∞/∞ ∞-∞ , 0/0など)の場合,式変形を試みる。

基本は数列の極限の時と同じです。

\(\displaystyle  \lim_{x\to \infty} \)は全く同じと言ってもいいでしょう。実数の場合\(\displaystyle \lim_{x \to h} \)はhより大きいほうから近付くのかhより小さいほうから近付くのか両方考え,一致するときのみ定義されます。その点に注意しましょう。

具体的な計算方法は別のページで紹介します。

片側極限

\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \)は正のほうから0に近づけると∞,負のほうから0に近づけると-∞になります。このように極限が一致しない場合極限値は存在しない,ということになります。しかし,片側だけを考えて極限値を考えることもあります。このような場合次のように表記します。

\( \displaystyle \lim_{x\to +0} \frac{1}{x}=\infty , \lim_{x\to -0} \frac{1}{x}=-\infty\)

なお,x→0ではない場合はこんな書き方をします。

\( \displaystyle \lim_{x\to 1+0} \frac{1}{x-1}=\infty , \lim_{x\to 1-0} \frac{1}{x-1}=-\infty \)

一般に
\(\displaystyle \lim_{x \to a-0} f(x)=\lim_{x\to a+0} f(x)=b \)が成り立つとき
\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \)と書きます。そうでないときは定義されません。

たとえば\(y=\log_{2}{x} \)のグラフはx→0のときy軸負の方向に近づいてきますがあくまでもx>0で近づいてきます。こういったときは
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \log_{2}{x}=-\infty \)とはかかず
\(\displaystyle \lim_{x\to +0} \log_{2}{x}=-\infty \)と書くようにします。

例題

次の極限は定義されるか?定義されるときはその値を求めよ。
(1) \(\displaystyle \lim_{x\to 3} (x^2-3x)|x-3| \)
(2) \(\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{x^2-3x}{|x-3|} \)
(3) \(\begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} x & ( x > 0 ) \\ 1 & ( x = 0 ) \\ x^2 & (x < 0) \end{cases} \end{eqnarray} \)のとき\(\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) \)
答え(1)
\(\displaystyle \lim_{x\to 3+0} (x^2-3x)|x-3|=\lim_{x\to 3+0} (x^2-3x)(x-3)=0 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 3-0} (x^2-3x)|x-3|=\lim_{x\to 3-0} (x^2-3x)(3-x)=0 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 3+0} (x^2-3x)|x-3|=\lim_{x\to 3-0} (x^2-3x)|x-3|=0\)
なので定義され、その値は
\(\displaystyle \lim_{x\to 3} (x^2-3x)|x-3|=0\)(2)
\(\displaystyle \lim_{x\to 3+0} \frac{x^2-3x}{|x-3|}=\lim_{x\to 3+0} \frac{x(x-3)}{(x-3)}=\lim_{x\to 3+0} x =3 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 3-0} \frac{x^2-3x}{|x-3|}=\lim_{x\to 3-0} \frac{x(x-3)}{-(x-3)}=\lim_{x\to 3+0} (-x) =-3 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 3+0} \frac{x^2-3x}{|x-3|} \neq \lim_{x\to 3-0} \frac{x^2-3x}{|x-3|} \)なので定義されない。
(3)
\(\displaystyle \lim_{x \to +0} f(x)=\lim_{x\to +0} x =0 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -0} f(x)=\lim_{x\to -0} x^2 =0 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to +0} f(x)=\lim_{x\to -0} f(x) \)なので定義され、その値は
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=0 \)
 f(0)=1ですがこれは関係ありません。+0の極限と-0の極限が一致すれば良いのです。

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