f(x,y)g(x,y)>0の表す領域

上野竜生です。今回はf(x,y)g(x,y)>0のタイプの領域の図示の方法を紹介します。

fg>0の領域

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基本

f(x,y)g(x,y)>0⇒「f>0かつg>0」または「f<0かつg<0」
f(x,y)g(x,y)<0⇒「f>0かつg<0」または「f<0かつg>0」

手順 (正攻法)

1. 境界となるf(x,y)=0,g(x,y)=0を図示する。
2. あとは上の「基本」と見比べて斜線をつける。

これだと普通ですね。問題を解いてみますがさらに裏技があります。

例題1

(x2+y2-4)(x2-4x+y2)≦0の表す領域を図示せよ。

x2+y2-4=0は原点を中心とする半径2の円,
x2-4x+y2=0⇔(x-2)2+y2=4は(2,0)を中心とする半径2の円なので境界は簡単に書けます。

例題1の参考図1

あとは境界線のどちら側が≦0かを判定すればよいのですが「基本」に戻って考えると少し時間がかかります。こういうときの裏技は

領域内の適当な1点を選んでそれが条件を満たすか(満たすなら斜線。満たさないなら斜線を塗らない)

でわかります。たとえば(-1,0)は図のイの部分にありますが(-1,0)を元の式に代入すると
(-3)・5=-15≦0なのでイの部分は斜線です。同様のやり方でア・ウ・エも確かめればア・ウは条件を満たさずイ・エが条件を満たします。よって答えは次の通りです。なお交点などの座標は省略しています。

答え例題1図2
(境界はすべて含む)

なお適当な1点が条件を満たすかの確認は記述式の答案に書く必要はありません。省略して最初からどっち側かはわかっていたかのように書けばいいでしょう。

もう1つ裏技

境界を1つ超えるごとに「もとの式に代入したときの正負」が入れ替わる!

つまり,境界を1つ超えるごとに「斜線/斜線じゃない」が入れ替わる!

と覚えておいても問題ないでしょう。

つまりこの例題1なら「イ」が条件を満たすとわかった瞬間,ア・ウ・エは確かめなくても「アはイの1つ隣だから×」「ウはイの1つ隣だから×」「エはウの1つ隣だから○」とわかるのです。

ここまでを理解したうえでちょっと複雑な例題2を考えてみましょう。

例題2

(x2+y2-4)(x2-4x+y2)(x-y)≦0の表す領域を図示せよ。

先ほどと同様(-1,0)を確かめると(-1,0)は条件を満たしません。よって答えは下のようになります。(交点の座標などは省略)

答え例題2図

(境界はすべて含む)

いかがでしたか?この法則がわかれば計算時間を短縮させることができますよ。

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