数IIIで習う微分まとめ

上野竜生です。数IIの多項式の微分と違い数IIIはいろいろな微分を習います。まとめておきました。

数IIIで習う微分

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基本的な微分

\( (\sin{x})’=\cos{x} \)
\( (\cos{x})’=-\sin{x} \)
\( (\log{x})’=\frac{1}{x} \)
\( (e^x)’=e^x \)
\( (\log_{a} x)’=\frac{1}{x\log{a}} \)
\( (a^x)’=a^x \log{a} \)
これらは覚えておきましょう。これらは導出するより覚えるほうが楽です。

合成関数の微分

\( \{f(g(x))\}’=f'(g(x))g'(x) \)

例: \(\displaystyle \left(\sqrt{f(x)}\right)’=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} \)
\( \displaystyle \left( \frac{1}{g(x)} \right)’=-\frac{g'(x)}{g(x)^2} \)

積の微分

\( (f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \)

例:\( (xe^x)’=e^x+xe^x=(x+1)e^x \)

商の微分

\( \displaystyle \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\)

覚えにくいですが実は合成関数の微分と積の微分を使えば復元できます。なので間違えて覚えるぐらいなら復元するほうがマシです。使用頻度は高いので覚えるほうがいいですが・・・

例:\(\displaystyle  (\tan{x})’=\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}} \right)’=\frac{\cos^2{x}+\sin^2{x}}{\cos^2{x}}=\frac{1}{\cos^2{x}} \)

基本はこの3つを使えば大体はOKです。残りは使用頻度がやや低めの微分です。

陰関数の微分

陰関数を微分するときは何で微分するのかを明確にすることです。

例:\( x^2+y^3=2e^x \)の両辺をxで微分する。
\( 2x+3y^2 y’=2e^x \)より\( \displaystyle y’=\frac{2e^x-2x}{3y^2} \)

yの3乗の微分は合成関数の微分を使っています。

逆関数の微分

例:\( y=\tan^{-1}{x} \) つまり,\( x=\tan{y} \)をxで微分する。

\( \displaystyle 1=\frac{y’}{\cos^2{y}} \)より
\(\displaystyle y’=\cos^2{y}=\frac{1}{1+\tan^2{y}}=\frac{1}{1+x^2} \)

このような感じで計算できます。

媒介変数の微分

1回微分は簡単ですが2回が複雑です。

\( \displaystyle \frac{dy}{dx}= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)
\( \displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) \frac{dt}{dx}\)

2回微分はまず1回微分を計算し(それはtの式になっているはず)それをtで微分する。最後にdt/dxをかけて微調整する。なお,「yをtで2回微分したもの/xをtで2回微分したもの」 を計算してもダメです。

対数微分

\( y=x^x \)をxで微分する。両辺に自然対数をとると
\( \log{y}=x\log{x} \) これの両辺をxで微分すると
\( \frac{y’}{y} =1+\log{x} \) 両辺にyをかけると
\( y’=y(1+\log{x})=x^x(1+\log{x}) \)

と微分できます。対数微分を使う例はほとんどありませんのでこの例で覚えておきましょう。

\( \frac{y’}{y}\)となるのはlogyの合成関数の微分によるものです。

最後に練習問題を置いておきます。

問題

次の関数をxで微分せよ。
\( (1) x^{\pi} (2) \sin{(\sin{x})} (3) \log{f(x)} \)

答え

(1) 対数微分を用いる。
\( y=x^{\pi} \)の両辺に対数を取ると\( \log{y}=\pi \log{x} \)
両辺をxで微分すると\( \frac{y’}{y}=\frac{\pi}{x} \)

よって\( y’=y\frac{\pi}{x}=\pi x^{\pi -1} \)

(2)合成関数の微分より\( \cos{(\sin{x})}\cos{x} \)

(3)合成関数の微分より\( \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} \)

この最後の結果は積分で頻出です。知っておきましょう。

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