カテナリー(双曲線関数)の性質(面積や曲線の長さ)まとめ

上野竜生です。カテナリーの性質をまとめていきます。

カテナリー（懸垂線）とは

カテナリーとは曲線\( \displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)のことです。相加相乗平均の関係よりy≧1はすぐにわかります。グラフは下の通りでパッと見、放物線にも見えます。ですが微妙に異なります。

またヒモの両端を同じ高さまで持ち上げると真ん中が重力の影響で垂れますがこのときのヒモの形がカテナリーと言われています。（大学物理の力学で習うかも）

双曲線関数とは

\( \displaystyle \sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2} , \cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \)で定義される関数のことです。それぞれ「ハイパボリックサイン」，「ハイパボリックコサイン」と読みますが長いので「シャイン」「コシャイン」と呼ばれることもあります。

なんとなくサイン，コサイン（三角関数）っぽい名前ですがある程度関連性があります。たとえば三角関数では
\( \cos^2{x}+\sin^2{x}=1 \)ですが，双曲線関数だと
\( \cosh^2{x}-\sinh^2{x}=1\)が成立します。

微分したときの関係も似ています。これらの関係などから置換積分するときにy=sinhxと置換することでうまく計算できる場合などもあります。

性質（面積，回転体の体積，曲線の長さ）

以下\(\displaystyle y=\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \)とx=0,x=a,x軸で囲まれる部分を考える。(a>0)

面積はsinha

[証明]

\(\displaystyle  \int_0^a \frac{e^x+e^{-x}}{2} dx \\
=\displaystyle \left[\frac{e^x-e^{-x}}{2} \right]_0^a\\
=\displaystyle \frac{e^a-e^{-a}}{2}=\sinh{a} \)

曲線の長さもsinha

[証明]

\( \displaystyle \int_0^a \sqrt{1+y'^2} dx \\
=\displaystyle \int_0^a \sqrt{1+\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2} \right)^2} dx\\
=\displaystyle \int_0^a \sqrt{\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}} dx \\
=\displaystyle \int_0^a \frac{e^x+e^{-x}}{2} dx\\
=\sinh{a} \)

最後の積分は面積の計算のときに行っています。面積と曲線の長さが同じ値になります。

x軸まわりの回転体の体積は\( \frac{\pi}{8}(e^{2a}-e^{-2a}+4a) \)

[証明]

\( \displaystyle \int_0^a \pi y^2 dx \\
\displaystyle =\pi \int_0^a \frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4} dx \\
\displaystyle =\pi \left[\frac{e^{2x}+4x-e^{-2x}}{8} \right]_0^a\\
\displaystyle = \frac{\pi}{8}(e^{2a}-e^{-2a}+4a)\)

y軸まわりの回転体の体積は2π(asinha-cosha+1)

[証明]　バウムクーヘン積分

\(\displaystyle  \int_0^a 2\pi x y dx \\
=\displaystyle \pi \int_0^a xe^x+xe^{-x} dx\\
=\displaystyle \pi[xe^x-xe^{-x}]_0^a - \pi \int_0^a e^x-e^{-x} dx\\
=\displaystyle \pi(ae^a-ae^{-a}) - \pi [e^x+e^{-x}]_0^a \\
=\displaystyle \pi(ae^a-ae^{-a})-\pi (e^a+e^{-a}-2) \\
=\pi (ae^a-ae^{-a}-e^a-e^{-a}+2)\\
=2\pi (a\sinh{a}-\cosh{a}+1)\)