分数で書かれた式が整数となるnの値は?

上野竜生です。分数で書かれた式が整数となるような整数(自然数)nの値を求めるパターンの解き方を紹介します。

分数で書かれた式が整数となるnの値

スポンサーリンク

例題1 「\(\frac{a}{n}\)が整数⇔nはaの約数」を使うパターン

\(\displaystyle \frac{n^2+2}{n+2} \)が整数となるような自然数nの値をすべて求めよ。

たとえば\(\frac{4}{n}\)が整数となる自然数nは?と聞かれるとすぐにn=1,2,4とわかりますよね。そのパターンです。ただしこのままだと\(\frac{a}{n} \)の形は見えないので実際に割り算を実行するのがコツです。

答え\(\displaystyle \frac{n^2+2}{n+2}=n-2+\frac{6}{n+2} \)よりn+2は6の約数

n+2=±1,±2,±3,±6

nは自然数だからn+2≧3。 よってn+2=3,6

∴n=1,4

例題2 「そもそも関数のとり得る範囲が限られている」パターン

\(\displaystyle \frac{n+2}{n^2+2} \)が整数となるような自然数nの値をすべて求めよ。

問題文で与えられたnの関数は実は値域があまり広くありません。結果から言うと\(\displaystyle 0<\frac{n+2}{n^2+2}<2 \)を満たします。

分数関数のグラフ
ということは問題文中の「整数」とは「1」のことだとわかるのであとは\(\displaystyle \frac{n+2}{n^2+2}=1 \)を解くという方針です。

答え\(\displaystyle \frac{n+2}{n^2+2}=m \)とおく(明らかにm≠0)と

\( mn^2-n+2m-2=0\)・・・(*)

m≠0よりnについての2次方程式の判別式は

\(1-4m(2m-2)\geq 0 \)

\(8m^2-8m-1 \leq 0\)より\(\displaystyle \frac{4-2\sqrt{6}}{8}\leq m \leq \frac{4+2\sqrt{6}}{8} \)

mは0以外の整数だからこれを満たすのはm=1のみ。

m=1のとき(*)を解くと\(n^2-n=0 \)だからn=0,1

nは自然数だからn=1

この方針は
1 \(\displaystyle \frac{n+2}{n^2+2} \)のとり得る範囲を知りたいのでmとおき、nが実数になる条件からmの範囲を絞り込む。
2 mが整数という条件からmを特定する。
3 mがわかれば普通の方程式なのでそれを解いてnを求める。
4 nが自然数という条件にあうものを選ぶ。
となります。

数IIIの微分まで習ったのであれば

\(\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x^2+2} \)を微分してx≧1でのとり得る範囲を求めてもOKです。

数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。


スタディサプリについて解説したページはこちら
スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

コメント

  1. 『縮約(縮退)自然数』 より:

     ≪…分数で書かれた式が整数となるような整数(自然数)n…≫を、『⦅モナド⦆写像』(『自然比矩形』)に観る。
      (n-1) ⇒ n

     西洋数学の成果の6つのシェーマ(符号)の[統合]的[連続性]は、[認知科学]的な『離散的有理数の組み合わせによる多変数創発関数論 命題Ⅱ』の帰結による[離散]と[連続]の[双対性]での[一・二・三次元空間]の[統合](位相)を観る。
    (n-1) ⇒ n    [ (n-1) ⇒ 1/n ] 
    と  1/(n-1)=(1/n)/(1-1/n)
    からの[次元]の[等価性]の[止揚](数学概念)である。 

     幼く、『(わけのわかる ちゃん)(まとめ ちゃん) (わけのわからん ちゃん)(かど ちゃん)(ぐるぐる ちゃん)(つながり ちゃん)』で[感応]してみたい。