分数関数と直線の共有点

上野竜生です。今回は分数関数と直線の共有点に関する問題を紹介します。

曲線C:\(\displaystyle y=\frac{3x+2}{x+2} \)とする。Cと次の直線の共有点の数を求めよ。
(1) y=x+a
(2) y=ax+9

答え

(1) \(\displaystyle y=\frac{3x+2}{x+2}=x+a \)の両辺に(x+2)をかけると
\( (3x+2)=(x+a)(x+2) \)・・・①
x=-2は①の解ではない。よって①の解の個数と求める共有点の個数は等しい。
①を展開して整理すると
\( x^2+(a-1)x+(2a-2)=0 \)・・・②
②の判別式をDとすると
\(\begin{eqnarray} D &=& (a-1)^2 – 4(2a-2) \\ &=& a^2-10a+9 \\ &=& (a-1)(a-9) \end{eqnarray}\)
よって共有点の個数は
a<1またはa>9のとき2個
a=1,9のとき1個
1<a<9のとき0個。

(2) \(\displaystyle y=\frac{3x+2}{x+2}=ax+9 \)の両辺に(x+2)をかけると
\( (3x+2)=(ax+9)(x+2) \)・・・③
x=-2は③の解ではない。よって③の解の個数と求める共有点の個数は等しい。
③を展開して整理すると
\( ax^2+(2a+6)x+16=0 \)・・・④
a=0のとき④は1次方程式6x+16=0であり解の個数は1個。
a≠0のとき2次方程式④の判別式をDとすると
\(\begin{eqnarray} D/4 &=& (a+3)^2-16a \\ &=& a^2-10a+9 \\ &=& (a-1)(a-9) \end{eqnarray} \)
よって
a<1またはa>9のときD>0
a=1,9のときD=0
1<a<9のときD<0
分数関数との共有点
a=0のときは1個であることに注意する
a<0または0<a<1またはa>9のとき2個
a=0,1,9のとき1個
1<a<9のとき0個。

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