上野竜生です。今回はベータ関数に関する性質を証明します。ベータ関数とは下の問題のB(x,y)のことです。

問題

\(\displaystyle B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \)とする。
これらにはいろいろな性質がある。証明せよ。(テストによく出るのは(5)までです。(6)~(8)は難しくはないですが参考程度に見てください。)
(1) \(B(x,y)=B(y,x)\)
(2) \(\displaystyle B(x,y)=\frac{y-1}{x} B(x+1,y-1) \)
(3) \(\displaystyle B(x,y)=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\) (x,yは自然数)
(4) \(\displaystyle B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi \)
(5)

\(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (x-\beta)^n dx =(-1)^n B(m+1,n+1)(\beta-\alpha)^{m+n+1}=\frac{(-1)^n m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\)

(6) \(B(x,y)=B(x+1,y)+B(x,y+1)\)
(7) \(\displaystyle B(x,y)=\frac{x+y}{y}B(x,y+1) \)
(8) \(\displaystyle B(x,y)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2x-1}{\theta} \cos^{2y-1}{\theta} d\theta \)

(1)\(B(x,y)=B(y,x)\)

s=1-tと置換する
\(\displaystyle B(y,x)=\int_0^1 t^{y-1}(1-t)^{x-1}dt \\ =\displaystyle \int_1^0 (1-s)^{y-1}s^{x-1} \cdot (-ds) \\ \displaystyle = \int_0^1 s^{x-1}(1-s)^{y-1}ds= B(x,y) \)

(2)\(\displaystyle B(x,y)=\frac{y-1}{x} B(x+1,y-1) \)

部分積分より

\(\displaystyle B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt \\ \displaystyle = \left[ \frac{1}{x} t^{x} (1-t)^{y-1}\right]_0^1 – \int_0^1 – \frac{y-1}{x} t^{x}(1-t)^{y-2} dt \\ \displaystyle = \frac{y-1}{x} \int_0^1 t^{(x+1)-1}(1-t)^{(y-1)-1} dt \\ \displaystyle = \frac{y-1}{x}B(x+1,y-1) \)

(3)\(\displaystyle B(x,y)=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\)

y=1のとき

\(\displaystyle B(x,1)=\int_0^1 t^{x-1}dt =[ \frac{1}{x}t^x ]_0^1 = \frac{1}{x} \)

y≧2のとき(2)の関係を繰り返し使う

\(\displaystyle B(x,y)=\frac{y-1}{x} B(x+1,y-1) = \frac{y-1}{x}\cdot \frac{y-2}{x+1}B(x+2,y-2) \\ \displaystyle = \cdots = \frac{(y-1)(y-2)\cdots 1}{x(x+1)\cdots (x+y-2)}B(x+y-1,1) \\ \displaystyle = \frac{(y-1)!}{x(x+1)\cdots (x+y-2)(x+y-1)}= \frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!} \)

(4)\(\displaystyle B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi \)

\(\displaystyle B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\int_0^1 t^{-\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}} dt = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t(1-t)}}dt \)

\(\displaystyle t(1-t)=t-t^2=\frac{1}{4}-(t-\frac{1}{2})^2 \)であるから\( \displaystyle t-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\sin{\theta} \)と置換する

\(\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\cos^2{\theta}}} \cdot \frac{1}{2}\cos{\theta} d\theta  = \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta = \pi \)

(5)\(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (x-\beta)^n dx =(-1)^n B(m+1,n+1)(\beta-\alpha)^{m+n+1}\)

\( s=\alpha+ t(\beta-\alpha) \)と置換する

\(\displaystyle t=\frac{s-\alpha}{\beta-\alpha} , 1-t=\frac{-(s-\beta)}{\beta-\alpha} ,ds=(\beta-\alpha)dt \)
\(\displaystyle B(m+1,n+1)=\int_0^1 t^m (1-t)^n dt \\ \displaystyle = \int_{\alpha}^{\beta} \left( \frac{s-\alpha}{\beta-\alpha} \right)^m \left(\frac{-(s-\beta)}{\beta-\alpha}\right)^n \frac{ds}{\beta-\alpha} \\ \displaystyle = \frac{(-1)^n}{(\beta-\alpha)^{m+n+1}} \int_{\alpha}^{\beta} (s-\alpha)^m (s-\beta)^n ds \)

あとは移項すれば求める式を得る。

(6)\(B(x,y)=B(x+1,y)+B(x,y+1)\)

(右辺)=

\(\displaystyle \int_0^1 t^x (1-t)^{y-1} dt + \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^y dt \\ \displaystyle =\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} (t+1-t)dt =B(x,y) \)

(7) \(\displaystyle B(x,y)=\frac{x+y}{y}B(x,y+1) \)

(6)より
\(B(x,y)=B(x+1,y)+B(x,y+1) \)
(2)より\( \displaystyle B(x+1,y)=\frac{x}{y}B(x,y+1) \)なので
\(\displaystyle B(x,y)=\frac{x+y}{y}B(x,y+1) \)

(8) \(\displaystyle B(x,y)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2x-1}{\theta} \cos^{2y-1}{\theta} d\theta \)

\(t=\sin^2{\theta} \)とおく
\(dt = 2\sin{\theta}\cos{\theta} d\theta \)であることに注意して

\(\displaystyle B(x,y)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2{\theta})^{x-1} (\cos^2{\theta})^{y-1} 2\sin{\theta}\cos{\theta}d\theta \\ \displaystyle = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2x-1}{\theta} \cos^{2y-1}{\theta} d\theta \)
これを示した後だと(4)が自明になりますね。

特に(5)の公式が重要で,これは1/6公式とか1/12公式の一般化になっています。実際,(m,n)=(1,1),(2,1),(2,2)などを代入すると以下の有名な公式が得られますね。

\(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \\ \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2(x-\beta)=-\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4 \\ \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2(x-\beta)^2=\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5 \)

どれも高校範囲の練習問題にピッタリなレベルですね。標準的なレベルの大学でもよく見かけるので覚えていなくても実力で導けるようにしましょう。

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