部分分数に分解する方法

上野竜生です。部分分数に分解すれば数学の問題が解きやすくなることが多いです。いくつか例題を出します。

部分分数分解

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例題1

次の式が成り立つように定数a,bの値を定めよ
\( \displaystyle \frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} \)

この問題を解くだけなら恒等式のページで解説したように左右の係数を比較するとか数値代入するなどの方法でできます。

(解)両辺にx(x+1)をかけると

1=a(x+1)+bx=(a+b)x+a

係数を比較するとa+b=0 , a=1

ゆえにa=1 , b=-1

これが解けるようになると次の問題に便利です。

例題2

次の計算をせよ
$$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} $$

\( \displaystyle \begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} &=& \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right) \\
&=& \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+ \cdots + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right) \\
&=& 1-\frac{1}{n+1} \\
&=&\frac{n}{n+1} \end{eqnarray}\)

Σを習ってない人はまだわからないと思いますが,あとでまた部分分数を使います。数列の和のところと積分のところで出てくるので部分分数に分解する問題は係数だけわかるのではなく左辺を見て右辺全体が出せるようにしましょう

今の例題1なら次の問題でも解けるようにしてほしいです。

例題1’

\(\displaystyle \frac{1}{x(x+1)} \)を部分分数に分解せよ。

答えは例題1の右辺にa=1,b=-1を代入した

\(\displaystyle  \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \)となります。

係数だけでなく右辺全部を求める場合,まったく手掛かりがないとどうしようもありませんが,実は手掛かりがあります。それを解説します。

部分分数の鉄則:
<手順1>分母を因数分解する。
<手順2>それぞれの因数を分母とする分数を書く。<注>
<手順3>分子は各分母の次数より1小さくなるように係数を決める。

これだけでは伝わらないと思うので例題をいくつか出します。なお,係数を求めるのは例題1と同じなので省略します。

例題3

次の分数を部分分数に分解せよ。
\( \displaystyle  (1)   \frac{1}{x^2-2x}
\hspace{ 10pt } \displaystyle (2)   \frac{x}{x^3-1}
\hspace{ 10pt }  \displaystyle (3)   \frac{2x+3}{(x-1)^2(x+1)} \)

これについて鉄則通りに計算すると答えは

(1) \( \displaystyle  \frac{a}{x} + \frac{b}{x-2} \) \( (a=-\frac{1}{2} , b=\frac{1}{2}) \)

(2) \( \displaystyle \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1} \) \( (a=\frac{1}{3} , b=-\frac{1}{3} , c=\frac{1}{3} ) \)

(3) \( \displaystyle \frac{ax+b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x+1} \) \( ( a=-\frac{1}{4} , b=\frac{11}{4} , c=\frac{1}{4} ) \)

となります。<注>というのは同じ因数で次数が2以上\( (x-1)^2 \)のような場合は

\( \displaystyle \frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2} = \frac{a’x+b’}{(x-1)^2} \)の左辺または右辺のように分解できます。

「部分分数に分解」というのは露骨に勉強することはないでしょうけれど突然当たり前のように使いますのでできるようにしましょう。

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