不等式が常に成り立つ条件

上野竜生です。不等式が常に成り立つようなaの範囲を求める問題を紹介します。2パターンありますよ。
不等式が常に成り立つ条件
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証明方法

1 (左辺)-(右辺)の最小値[最大値]を求め、それと0との大小を比較する。
2 aを定数分離し、残った部分のグラフを書く。
2のほうがわかりやすいです。

例題1

a>0とする。すべての実数xに対して\(ax^4-x^3+a\geq 0 \)が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。

解法1 定数分離

答え

\( a(x^4+1)\geq x^3 \)
\(\displaystyle a \geq \frac{x^3}{x^4+1} \)
ここで右辺をf(x)とおく。f(x)≦aとなればよい。
\(\displaystyle f'(x)=\frac{3x^2\cdot (x^4+1)-4x^3 \cdot x^3}{(x^4+1)^2}=\frac{x^2 (3x^4+3-4x^4)}{(x^4+1)^2} \)
つまりf'(x)=0を解くと \(x=0,  \pm \sqrt[4]{3} \)
よってy=f(x)の増減表は下の通り。
\(\begin{array}{c|ccccccc} x & \cdots & -\sqrt[4]{3} & \cdots & 0 & \cdots & \sqrt[4]{3} & \cdots  \\ \hline f’(x) & – &  & + & 0 & + & & – \\ \hline f(x) & \searrow & -\frac{\sqrt[4]{27}}{4}& \nearrow & & \nearrow & \frac{\sqrt[4]{27}}{4} & \searrow \end{array}\)
図1
f(x)の最大値は\(\displaystyle \frac{\sqrt[4]{27}}{4} \)より\(\displaystyle a \geq \frac{\sqrt[4]{27}}{4} \)

解法2 (左辺)-(右辺)≧0を示す。

答え

\( f(x)=ax^4-x^3+a \)とおく。
\( f'(x)=4ax^3-3x^2=x^2(4ax-3) \)
よって増減表は下の通り。
\(\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 0 & \cdots & \frac{3}{4a} & \cdots \\ \hline f’(x) & – & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow &  & \searrow &  & \nearrow \end{array} \)
図2
最小値は\( f(\frac{3}{4a}) \)であり,\( f(\frac{3}{4a}) \geq 0\)になればよい。
\(\displaystyle  f\left( \frac{3}{4a} \right) =\frac{81a}{256a^4}-\frac{27}{64a^3}+a = – \frac{27}{256a^3}+a \geq 0 \)
∴\(\displaystyle a^4 \geq \frac{27}{256} \)より\(\displaystyle a \geq \frac{\sqrt[4]{27}}{4} \)

例題2

a>1とする。x>0を満たすすべての実数xに対して\(x^2 \geq \log_{a}{x} \)が成立するようなaの値の範囲を求めよ。

解法1 定数分離

答え

\(\displaystyle x^2 \geq \log_{a}{x}=\frac{\log{x}}{\log{a}} \)
a>1のとき\(\displaystyle \log{a} \geq \frac{\log{x}}{x^2} \)となるので
右辺をf(x)とおく。
\(\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2 – 2x\log{x} }{x^4}=\frac{1-2\log{x}}{x^3} \)
f'(x)=0を解くと\(x=\sqrt{e} \)
\(\begin{array}{c|ccc} x & \cdots & \sqrt{e} & \cdots  \\ \hline f’(x) & + & 0 & –  \\ \hline f(x) & \nearrow &  & \searrow  \end{array} \)
図3
f(x)の最大値は\(\displaystyle f(\sqrt{e})=\frac{1}{2e} \)
よって\(\displaystyle \log{a} \geq \frac{1}{2e} \)となり\(a \geq e^{\frac{1}{2e}} \)

解法2 (左辺)-(右辺)≧0を示す。

答え\(\displaystyle f(x)=x^2-\log_{a}{x} \)とおく。
\(\displaystyle f'(x)=2x-\frac{1}{x\log{a}} \)
f'(x)=0を解く。\(2x^2\log{a}=1 \)より\(\displaystyle x=\sqrt{\frac{1}{2\log{a}}}\)
\(\begin{array}{c|ccc} x & \cdots & \sqrt{\frac{1}{2\log{a}}} & \cdots  \\ \hline f’(x) & – & 0 & +  \\ \hline f(x) & \searrow &  & \nearrow  \end{array} \)
図4
\(\displaystyle f\left( \sqrt{\frac{1}{2\log{a}}} \right) = \frac{1}{2\log{a}}-\frac{\frac{1}{2} \log{(\frac{1}{2\log{a}})}}{\log{a}} \\ \displaystyle =\frac{1+\log{(2\log{a})}}{2\log{a}} \geq 0 \)
a>1のときloga>0だから
\( \log{(2\log{a})}\geq -1 \)
\(\displaystyle 2\log{a} \geq \frac{1}{e} \)
\(\displaystyle \log{a} \geq \frac{1}{2e} \)
\(\displaystyle a \geq e^{\frac{1}{2e}} \)

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