すべての整数nに対しf(n)が整数となる条件

上野竜生です。すべての整数nに対し,f(n)が整数となる条件を求めるタイプを2問紹介します。意外とよく出ます。受験生なら差をつけるために知っておきたいところです。

すべての整数nに対しf(n)が整数となる条件

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パターン1

実数係数多項式f(x)=ax2+bx+cがある。すべての整数nに対し,f(n)が整数になるためのa,b,cの必要十分条件を求めよ。

このようなタイプはまず「必要条件」から攻め,最後に十分性を示すのが定石です。なおa,b,cは整数ではなく実数と書かれていることに注意してください。

答え題意を満たすにはf(-1),f(0),f(1)が整数になることが必要。よって
f(-1)=a-b+c , f(0)=c , f(1)=a+b+cが整数。つまり
a-b,a+b,cがすべて整数になることが必要。
このとき十分であることを示す。
\(\displaystyle f(n)=an^2+bn+c=\frac{n^2+n}{2}(a+b)+\frac{n^2-n}{2}(a-b)+c \)
ここで連続する2整数の積は偶数だからn2+n=n(n+1)は偶数であり
\(\frac{n^2+n}{2} \)は整数。同様にして\(\frac{n^2-n}{2} \)も整数。
よってf(n)は整数となる。
以上より必要十分条件はa-b , a+b , cがすべて整数であること。
もちろん「a-b, a+b , cがすべて整数」を言い換えて
a-b=k , a+b=l , c=m(k,l,mは整数)とおく。
もOKです。そういう風に言い換えると十分性を示すときは
\(\displaystyle  f(n)=an^2+bn+c=\frac{k+l}{2}n^2 + \frac{l-k}{2}n +c\\ =\displaystyle \frac{k(n^2-n)+l(n^2+n)}{2}+c \)
となります。結果としては全く同じことです。

パターン2

実数係数2次多項式f(x)においてf(123),f(124),f(125)がすべて整数ならばすべての整数nに対しf(n)は整数であることを証明せよ。

安直にf(x)=ax2+bx+cとおきf(123),f(124),f(125)が整数と言う条件を素直に計算してもできますが無駄な計算量が多すぎます。最初の多項式の置き方を工夫してみましょう。

答えf(x)=a(x-124)2+b(x-124)+cとおく。(ax2+bx+cをx軸方向に124平行移動させる)
f(123),f(124),f(125)はすべて整数だから
f(123)=a-b+c , f(124)=c , f(125)=a+b+cはすべて整数
(以下例題1の十分性を示すときと全く同じ)

このように平行移動の考えをすることで計算量を大幅に減らすことができます。

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