3次方程式の判別式

上野竜生です。3次方程式の判別式と解の判別問題を紹介します。判別式を知らなくても3次方程式の解の判別をしますので最初の説明がいらない人は後半からご覧ください。

3次方程式の判別式

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判別式

(i) 2次方程式ax2+bx+c=0の解をx=α,βとする。この方程式の判別式は
a2(α-β)2=b2-4acである。

(ii) 3次方程式ax3+bx2+cx+d=0の解をx=α,β,γとする。この方程式の判別式は
a4(α-β)2(β-γ)2(γ-α)2である。

4次以上も同様にすべての解から2つ選んで引き算したものの2乗の積・・・という感じです。aの指数は2ずつ増えていきます。

これが厳密な定義ですが、2次方程式の判別式がb2-4acと等しいように3次方程式の判別式もa,b,c,dの式で表すことができます。で、その結果は・・・

b2c2-4ac3-4b3d-27a2d2+18abcd

と覚えるに値しない複雑な結果となります。

この判別式Dの値が
D>0⇒異なる実数解3個
D=0⇒重解(2重解+1つ別の解か3重解かはわからない。実数解3つであることは確定。)
D<0⇒1つの実数解と2つの虚数解(もちろん2つは共役な複素数です)
となります。

覚えやすくする方法

まずxの3次多項式f(x)をうまく平行移動(f(x-A))してx2の係数を消すことができます。

さらにaで割ればx3の係数を1にすることができます。このようにしてできる3次方程式

x3+px+q=0の判別式は-4p3-27q2となります。これなら覚えられそうです。

練習問題

x3-6x2+1=0の異なる実数解の個数はいくつか?

複雑な3次方程式の判別式を使う解法

先ほどの複雑な判別式に代入すると

D=(-6)202-4・1・03-4・(-6)3・1 – 27・12・12+18・1・(-6)・0・1
=864-27=837>0

よって3つの異なる正の実数解をもつ。

単純な3次方程式の判別式を使う解法

f(x)=x3-6x2+1とするとf(x+2)=x3-12x-15となりx2の項が消える。
x方向に平行移動しただけなので異なる実数解の個数は変わらない。この方程式について単純な方の判別式を使うと

D=-4・(-12)3-27・(-15)2=6912-6075=837>0

よって3つの異なる正の実数解をもつ。

平行移動した場合解α,β,γはすべて同じ値だけ移動するわけですからα-β,β-γ,γ-αの値は変わらず判別式の定義から値に変化はありません

判別式を覚えておらず高校の教科書の範囲で解く解法

なるべく記述式の受験では次の解法を使うようにしましょう。

f(x)=x3-6x2+1とおくとf'(x)=3x2-12x=3x(x-4)

x=0,4が極値の候補であり,増減表を書けばx=0で極大値,x=4で極小値とわかる。

\(\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 0 & \cdots & 4 & \cdots \\ \hline f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 1 & \searrow & -31 & \nearrow \end{array} \)

f(0)=1>0, f(4)=64-96+1=-31<0よりグラフは下の通り。

y=x^3-6x^2+1のグラフ

よって異なる実数解は全部で3つ。

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