二次曲線の極と極線

上野竜生です。円のときに極と極線を学んだと思いますが円でなくても二次曲線であれば同様の性質が成り立ちます。例題を1問だけ紹介します。円の時とほとんど同じですが(1)の係数の扱いだけ注意してみておきましょう。
 2次曲線の極と極線
双曲線C:\(\displaystyle \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=-1 \)と点P(1,3)がある。
(1) PからCには2本の接線が引ける。その接線とCの交点をそれぞれA,Bとするとき直線ABの方程式を求めよ。
(2) 直線AB上に点Qを,QからCに2本の接線がひけるようにとるとする。このときの接線とCとの交点をそれぞれD,Eとするとき直線DEは点Pを通ることを示せ。
参考図

答え

(1)
\( A(p_1 , q_1) , B(p_2 , q_2) \)とする。A,Bから引いた接線の方程式はそれぞれ
\(\displaystyle \frac{p_1 x}{4}-\frac{q_1 y}{9}=-1 \)
\(\displaystyle \frac{p_2 x}{4}-\frac{q_2 y}{9}=-1 \)
である。これがP(1,3)を通るから
\(\displaystyle \frac{p_1}{4}-\frac{q_1}{3}=-1 \)
\(\displaystyle \frac{p_2}{4}-\frac{q_2}{3}=-1 \)
これは直線ABの方程式が\(\displaystyle \frac{x}{4}-\frac{y}{3}=-1 \)であることを示している。
(2) Q(s,t)をとる。Qは(1)の直線上にあるから
\(\displaystyle \frac{s}{4}-\frac{t}{3}=-1 \)・・・①
\( D(p_3 , q_3) , E(p_4 , q_4) \)とする。D,Eから引いた接線の方程式はそれぞれ
\(\displaystyle \frac{p_3 x}{4}-\frac{q_3 y}{9}=-1 \)
\(\displaystyle \frac{p_4 x}{4}-\frac{q_4 y}{9}=-1 \)
これがQ(s,t)を通るから
\(\displaystyle \frac{p_3 s}{4}-\frac{q_3 t}{9}=-1 \)
\(\displaystyle \frac{p_4 s}{4}-\frac{q_4 t}{9}=-1 \)
よって直線DEの方程式は
\(\displaystyle \frac{sx}{4}-\frac{ty}{9}=-1 \)・・・②
つまり②に(x,y)=(1,3)を代入すると①を満たすので②はP(1,3)を通る。
接線の方程式さえ間違わなければほぼ同様です。円のときとは違い少しだけ係数は複雑になっていると感じるかもしれませんがそこさえ間違わなければただの復習でしょう。

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