数I 絶対値のついた不等式の解き方

上野竜生です。絶対値のついた不等式の解き方を紹介します。絶対値を外す段階での場合分けと解いた不等式をまとめることが重要です。

絶対値のついた不等式

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|f(x)|≦g(x)(関数)のとき

絶対値の外し方の基本通り解きます。|f(x)|はf(x)≧0のときf(x),f(x)<0のとき-f(x)なので

f(x)≧0のときf(x)≦g(x)
f(x)<0のとき-f(x)≦g(x)

を解けばOKです。等号がついていなかったり,不等号の向きが逆でも同様です。太字の不等式を解く必要があります。3回(f(x)≧0とf(x)<0はほとんど同じ不等式)解く必要があるので少し面倒です。また不慣れな人だと間違いやすいのでしっかり練習しましょう。

例題1:|x-2|<2x-1を解け。

f(x)≧0とはx-2≧0,つまりx≧2のことです。
f(x)<0とはx<2のことです。ここまでは答案に明記しなくても計算用紙か頭の中で行い,答案にはいきなり「x≧2のとき」または「x-2≧0,つまりx≧2のとき」と書けばいいでしょう。

答えx≧2のときx-2<2x-1 つまりx>-1
x≧2とあわせるとx≧2
x<2のとき-x+2<2x-1 つまりx>1
x<2とあわせると1<x<2
以上よりx>1
絶対値 例題1
記述の仕方も練習しましょう。特に太字部分の書き方を学びましょう。
例題2:|x-2|≧2x-1を解け

さっきと不等号が逆なので答えはx≦1だとわかりますが例題1を解いていないという前提です。

答えx≧2のときx-2≧2x-1を解くとx≦-1

x≧2より不適。

x<2のとき-x+2≧2x-1を解くとx≦1

x<2とあわせるとx≦1

以上よりx≦1
絶対値 例題2

場合分けの範囲(x≧2やx<2)とあわせた範囲を求めることと最後に結果をまとめることも必要です。

|f(x)|≦a(定数)のとき

これは簡単です。普通に-a≦f(x)≦aとすればOKです。等号がなくなっても同様です。不等号の向きが逆のとき,つまり|f(x)|≧aはf(x)≧aまたはf(x)≦-aとなります。

a>0が定数のとき
|f(x)|≦a ⇔ -a≦f(x)≦a
|f(x)|≧a ⇔ f(x)≧a または f(x)≦-a

証明は上のg(x)が関数のときにg(x)=aを代入すれば良い。

例えば上の式は
f(x)≧0のときf(x)≦a f(x)≧0とあわせると0≦f(x)≦a
f(x)<0のとき-f(x)≦a f(x)<0とあわせると-a≦f(x)<0
合わせると-a≦f(x)≦a

例題3:次の不等式を解け。
(1) |2x-3|≦5
(2) |-3x+9|>6

答え(1) -5≦2x-3≦5 の両辺に3を加えると

-2≦2x≦8

両辺を2で割ると

-1≦x≦4

(2) -3x+9>6または-3x+9<-6なのでそれぞれ解くとx<1またはx>5

割と基礎的な問題なのでしっかり練習しましょう。

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