数列~漸化式の解き方~

上野竜生です。漸化式を解く正攻法をまとめました。

数列漸化式

レベル1:等比数列

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1=a \\ a_{n+1}=ra_n \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

これは教科書にも載っているレベルです。\(a_n = a r^{n-1} \)ですね。指数部分に気を付けましょう。n=1を代入してaになるか確かめれば間違いは起きません。

レベル2:階差数列

\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1=a \\ a_{n+1}=a_n+f(n) \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

これも教科書に載っています。\( \displaystyle a_{n}=a_{1} + \sum_{k=1}^{n-1} f(k) \)です。

特にf(n)が定数の場合等差数列ですが同様の式が成り立ちます。

つまり、f(n)=c(定数)のとき、\( \displaystyle a_{n}=a_{1} + \sum_{k=1}^{n-1} c=a+(n-1)c \)

この2つは応用問題を解く上での超基本形です。大体の場合適切に変換してこの2つのどちらかに持ち込みます。

レベル3:

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1=a \\ a_{n+1}=sa_n+t \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

s=1のときはレベル2の解き方が使えます。以下ではs≠1とします。αについての方程式α=sα+tの解をβ\( (=\frac{t}{1-s} ) \)とします。両辺からβをひくと
\( a_{n+1}-\beta=s(a_{n}-\beta) \)
となるので\( b_{n}=a_{n}-\beta \)とおけばレベル1の形になります。

これも教科書レベルですし,ここまではさすがにできないといけません。ここから応用レベルをいくつか紹介します。

レベル4:隣接3項間漸化式

\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1=a ,\hspace{ 10pt } a_2=b\\ a_{n+2}=sa_{n+1} +ta_n    \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

方程式\( \gamma ^2 -s\gamma -t =0\)の2つの解をα,βとし,もとの漸化式から\( \alpha a_{n+1} , \beta a_{n+1}\)を引いた式を書きます。あとはレベル3と同じ形になるので同様に解けます。

α,βが複素数解になる場合も複素数のまま計算すればOKです。

α,βが重解になる場合の例を示しておきます。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1=1 , \hspace{ 10pt } a_2=2 ,\\ a_{n+2}=6a_{n+1}-9a_n\end{array} \right.\end{eqnarray} \)を解け

α,βはともに3になってしまいます。

レベル4答え(前半)両辺から\(3 a_{n+1}\)をひくと
\(a_{n+2}-3a_{n+1}=3(a_{n+1}-3a_{n}) \)になるので\(b_{n}=a_{n+1}-3a_{n}\)とおくと\(b_{1}=a_{2}-3a_{1}=2-3=-1 , b_{n+1}=3b_{n}\)となります
\(b_{n}=-1\cdot 3^{n-1}=-3^{n-1} \)とまでわかります。
これを元の式に戻すと
\(a_{n+1}=3a_{n}-3^{n-1} \)となります。

あとはこれを解けばいいのですがなかなか解けそうにありません。これは以下で示す形だからです。

レベル5:\(a_n\)の係数が1でない上にf(n)も加わる場合

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1=a \\ a_{n+1}=ra_n + f(n)    \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

この場合は両辺を\(r^{n+1}\)で割ります。そのあとで\(\displaystyle b_{n}=\frac{a_{n}}{r^n}\)とおけばレベル2の形になります。

これを踏まえて先ほどの続きを解きます。

レベル4答え(後半)両辺を\(3^{n+1}\)で割って

$$ \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{a_{n}}{3^{n}}-\frac{1}{9} $$

\(\displaystyle c_{n}=\frac{a_{n}}{3^{n}}\)とおくと\(\displaystyle c_{1}=\frac{1}{3} , c_{n+1}=c_{n}-\frac{1}{9} \)
よって\(\displaystyle c_{n}=\frac{4-n}{9} \)となり
\(a_{n}=3^{n}c_{n}=(4-n)\cdot 3^{n-2} \)

となります。

ここからは少し変わった漸化式を紹介します。

\(a_n\)と\(b_n\)が両方ある場合

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=aa_n+bb_n \\ b_{n+1}=ca_n+db_n \end{array} \right.\end{eqnarray}  \)

このタイプは1つめの式から\( b_{n}=(a_{n},a_{n+1})\)の式で書けるのでこれを2つめに代入するとレベル4の形になります。

分数関数の場合

\(\displaystyle  a_{n+1}=\frac{aa_{n}+b}{ca_{n}+d} \)

c=0のときはレベル3の形,b=0のときは逆数をとり,\(\displaystyle b_{n}=\frac{1}{a_{n}}\)とすればできます。それ以外の時の解法を教えます。

まず,\(a_{n}\)などにxを代入した式

\(\displaystyle x=\frac{ax+b}{cx+d} \)

を解きます。この解をα,βとします。このとき,

\(\displaystyle  b_{n}=\frac{a_{n}-\alpha}{a_{n}-\beta}\)

とおくとうまくいきます。

このぐらい知っておけばほとんどの漸化式は解けます(そもそも解けないものでない限り)

もし解けない場合,極限値のみを求める問題でないか確認しましょう。極限値だけ求める問題なら一般項は不要な場合もあります。

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