余事象を利用した場合の数の求め方

上野竜生です。余事象を利用して場合の数を求めてみましょう。

余事象を利用した場合の数の求め方

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基本

普通に求めるのが大変そうな場合は全体の数から条件に当てはまらない場合の数を引けば条件に当てはまる場合の数が求まる。

例題1

「1」「2」「3」「4」「5」の5枚のカードを並べ替えて5桁の整数を作るとき,53000以下の数字はいくつできるか?
答え5桁の数字は5!=120通りできる。
このうち53000より大きいもの
53□□□の□に「1」「2」「4」を入れてできる6通りと
54□□□の□に「1」「2」「3」を入れてできる6通りの12通りのみ。
よって53000以下の数字は120-12=108個できる。
もちろん普通にも計算できます。
1□□□□ ・・・4!=24通り
2□□□□ ・・・24通り
3□□□□ ・・・24通り
4□□□□ ・・・24通り
51□□□ ・・・3!=6通り
52□□□ ・・・6通り
24×4+6×2=96+12=108通り

例題2

男子5人と女子2人が1列に並ぶとき女子2人が隣り合わない並び方は何通りあるか?
答え男女7人の並べ方は7!=5040通り。
女子2人が隣り合う並べ方を計算する。
女子2人の並べ方は2!=2通り。
男子5人と「女子2人組」の6つを並べるやりかたは6!=720通り。
よって女子2人が隣り合うのは720×2=1440通り。
女子2人が隣り合わないのは5040-1440=3600通り。
普通に計算もできます。まず男を5人並べます。
|男|男|男|男|男|
次に6か所ある|の中から2つを選んでそこに女を配置します。
「男」「女」の文字の並べ方は6C2=15通りあります。
人は区別するので男5人の並べ方5!=120通りと女2人の並べ方2!=2通りをかけると15×120×2=3600通りと求まります。

例題3

大中小3個のサイコロを投げるとき、少なくとも1つは1が出るのは何通りあるか?
答えサイコロの目の出方は6×6×6=216通り。
1つも1が出ないのはすべてのサイコロが「2・3・4・5・6」の5通りのどれかが出たときであるから5×5×5=125通り。
よって少なくとも1つ1が出るのは216-125=91通り。
普通に(余事象を使わず)計算すると
大が「1」のとき 中小の決め方は6×6=36通り。
中が「1」のときも36通り。小が「1」のときも36通り。
36+36+36=108通り。
しかしこの中には2種類が「1」のときを2回ずつ数えているし3種類が「1」のときを3回数えている。
大中が「1」のとき 小の決め方は6通り。
同様に 中小が「1」のときも6通り。 大小が「1」のときも6通り。
これらをひくと108-6-6-6=90通り。
しかし今度は3種類が「1」のときを3回余分に引いたので3種類とも「1」のときがカウントされていない。
大中小すべて「1」なのは1通り。
よって90+1=91通り
となります。かなり複雑ですね。

具体的な数字が与えられていれば余事象で計算すべきところを素直に計算しても基本的には計算できます。しかしミスしやすいのでできるだけ楽な方法で解けるようにしましょう。特にn人の並べ方のように具体的な数字ではなくnになると余事象を使わず解くのは至難の業です。

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