ベクトルを使った三角形の面積

上野竜生です。三角形の面積の公式を導出します。ベクトルの内積を使った式と,そこから成分を代入して得られる平面座標での公式も計算します。

ベクトルを使った三角形の面積

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三角形の面積の公式

O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2)とする。

三角形OABの面積は\(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2-(\vec{OA}\cdot \vec{OB})^2}\)

[証明]

∠AOB=θとおく。三角形OABの面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2}OA\cdot OB \sin{\theta}\\
=\displaystyle \frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sqrt{1-\cos^2{\theta}}\)
ここで\(\vec{OA}\cdot \vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos{\theta}\)より
\(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{\vec{OA}\cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}||\vec{OB}|}\)を代入すると
\(\displaystyle \frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sqrt{1-\left(\frac{\vec{OA}\cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}||\vec{OB}|} \right)^2}\\
=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2-(\vec{OA}\cdot \vec{OB})^2}\)

このように内積がわかればcosθがわかるので面積も導出できます。また上の証明でOが原点であることは使ってないので原点がどこであろうと上の公式は使えます。

三角形OABの面積は\(\frac{1}{2}|x_1 y_2-x_2 y_1|\)

[証明]

先ほどの公式に代入すると
\(\frac{1}{2} \sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)-(x_1x_2+y_1y_2)^2}\\
=\frac{1}{2}\sqrt{x_1^2 x_2^2 + x_1^2 y_2^2 + x_2^2 y_1^2 + y_1^2 y_2^2 – x_1^2 x_2^2 – 2x_1x_2y_1y_2 – y_1^2 y_2^2}\\
=\frac{1}{2}\sqrt{x_1^2 y_2^2 – 2x_1x_2y_1y_2 + x_2^2 y_1^2}\\
=\frac{1}{2}\sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2}\\
=\frac{1}{2}|x_1 y_2-y_1x_2| \)

この公式はよく使うので覚えておきましょう。

練習

(1) \(|\vec{AB}|=3 , |\vec{AC}|=4 , \vec{AB}\cdot \vec{AC}=5 \)のとき、三角形ABCの面積を求めよ。
(2) A(1,1),B(4,5),C(8,4)のとき三角形ABCの面積を求めよ。

どちらも公式に代入するだけです。ただし(2)では1点を原点にするために平行移動しましょう。

答え(1)\(\frac{1}{2}\sqrt{3^2 \cdot 4^2 – 5^2}=\frac{1}{2}\sqrt{144-25}=\frac{1}{2}\sqrt{119}\)

(2)3点をx軸方向に-1,y軸方向に-1平行移動するとA'(0,0),B'(3,4),C'(7,3)
よって面積は\(\frac{1}{2}|3\cdot 3- 4\cdot 7|=\frac{19}{2}\)

公式を忘れてもすぐ復元できるとは思いますが公式を覚えておくと楽でしょう。(特に座標のほうは)使用頻度もそれなりにあります。

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