上野竜生です。Σ計算の厄介な問題に「等差×等比数列の和」の形をしたものがあります。ちなみにn乗×等比数列の和も同様に求められますが計算量的にn=2が出たらかなり鬼畜で,n≧3はもう手計算では出せないといっても過言ではないレベルです。n=2までここで紹介します。n≧3でも理論的には同様です。

復習 等比数列の和

\(\displaystyle R_n=\sum_{k=1}^n r^k=\frac{r-r^{n+1}}{1-r} \)

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問題 (1)等差×等比の和,(2)2乗×等比の和

r≠1とする。
(1)\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n kr^k \)を求めよ。
(2)\(\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n k^2 r^k \)を求めよ。

(1)解1 1つずらす

等差×等比の参考図

この図より

\( (1-r)S_n=(r+r^2+r^3+\cdots+r^n)-nr^{n+1} \\ = R_n-nr^{n+1} =\frac{r-r^{n+1}}{1-r}-nr^{n+1}\)

∴\(\displaystyle S_n=\frac{r-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{nr^{n+1}}{1-r} \)

解2 Rnをrで微分する

\(\displaystyle R_n=\sum_{k=1}^n r^k=\frac{r-r^{n+1}}{1-r} \)をrで微分する
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n kr^{k-1} \\ =\displaystyle \frac{(1-(n+1)r^n)(1-r)+(r-r^{n+1})}{(1-r)^2}\)
分子のみ整理する

\( (1-(n+1)r^n)(1-r)+(r-r^{n+1})\\ = 1-(n+1)r^n -r +(n+1)r^{n+1}+r-r^{n+1}\\ = 1-(n+1)r^n+nr^{n+1} \\ = (1-r^n)-nr^n(1-r) \)

これをr倍したものがSnだから
\(\displaystyle S_n=\frac{(r-r^{n+1})-nr^{n+1}(1-r)}{(1-r)^2} \)

(2)解1 1つずらす

等差×等比参考図2

この図より

\( (1-r)T_n=(r+3r^2+5r^3+\cdots + (2n-1)r^n )-n^2 r^{n+1} \\ \displaystyle =\{\sum_{k=1}^n (2k-1)r^k \}-n^2r^{n+1} \\ =2S_n-R_n-n^2 r^{n+1} \\ =\displaystyle \frac{2r-2r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{2nr^{n+1}}{1-r}-\frac{r-r^{n+1}}{1-r}-n^2 r^{n+1} \)

よって

\(\displaystyle T_n=\frac{2r(1-r^n)}{(1-r)^3}-\frac{(2n-1)r^{n+1}+r}{(1-r)^2}-\frac{n^2 r^{n+1}}{1-r}\)

解2 Snをrで微分して計算結果の両辺をr倍する

\(\displaystyle S_n=\frac{r-r^{n+1}-nr^{n+1}+nr^{n+2}}{(1-r)^2}\)

Snをrで微分すると

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 r^{k-1} \\ \displaystyle = \frac{ (1-(n+1)r^{n}-n(n+1) r^{n}+n(n+2)r^{n+1}) \cdot (1-r)^2 +2(1-r)(r-r^{n+1}-nr^{n+1}+nr^{n+2}) }{(1-r)^4} \\ =\displaystyle \frac{(1-(n+1)r^{n}-n(n+1) r^{n}+n(n+2)r^{n+1})(1-r)+2(r-r^{n+1}-nr^{n+1}+nr^{n+2})}{(1-r)^3} \)

分子のみを整理する

\( 1-(n+1)r^{n}-n(n+1) r^{n}+n(n+2)r^{n+1} -r+(n+1)r^{n+1}+n(n+1) r^{n+1} -n(n+2)r^{n+2}+2r-2r^{n+1}-2nr^{n+1}+2nr^{n+2} \\
=1+r+ (-n-1-n^2-n     )r^n +( n^2+2n +n+1+n^2+n-2-2n   )r^{n+1}+(-n^2-2n+2n)r^{n+2}   \\
=1+r-(n+1)^2 r^n + (2n^2 +2n-1)r^{n+1}-n^2r^{n+2} \)

これをr倍したものだから

\(\displaystyle T_n=\frac{r+r^2-(n+1)^2 r^{n+1} +(2n^2+2n-1)r^{n+2}-n^2 r^{n+3} }{(1-r)^3}\)

 

いかがでしたか?かなり計算が大変だったと思います。等差×等比まではたまに出ますが2乗×等比となると大変すぎて計算する気が起きなくなりますね。

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