対数関数の最大最小の求め方

上野竜生です。対数関数の最大最小の求め方を練習しましょう。

対数関数の最大最小の求め方

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パターン1:logaf(x)の形にするとf(x)の最大最小に帰着できる

logaf(x)の最大最小はf(x)の最大最小と深い関係があります。

a>1のときlogaxは単調増加なので logaf(x)が最大 ⇔ f(x)が最大 (最小も同様)

0<a<1のときlogaxは単調減少なので logaf(x)が最大 ⇔ f(x)が最小 (最小の時はf(x)が最大)

となります。

例題

\(\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{\frac{1}{3}}{(6-x)} \)の最小値を求めよ

対数を見たらまず底・真数条件をチェックです。実数全体はとれないことに注意しましょう。

答え真数条件よりx>0かつ6-x>0 ∴0<x<6
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{\frac{1}{3}}{(6-x)}\\
=\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}{\{x(6-x)\}}\)
x(6-x)=-(x-3)2+9より0<x<6のときの最大値はx=3のとき9
底は1より小さいので問題で与えられた式はx=3のとき最小値をとり,その値は
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}{9}=-2\)
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}{\{x(6-x)\}}\)
まで整理してから真数条件をとっても遅いです。
たとえばlogA+logB=logABの真数条件は
左辺はA>0かつB>0 右辺はAB>0(つまり「A>0,B>0」or「A<0,B<0」)
となり微妙に等しくありません。問題文が左辺の形で表されている以上最初の段階で求めないと条件が変わってくるのです。

パターン2:logax=Aとおく

\(\displaystyle \frac{1}{8}\leq x \leq 4\)のとき\(\displaystyle \left(\log_{2}{(8x)}\right)\left(\log_{2}{\frac{x}{8}}\right)\)の最大・最小値を求めよ。
答え真数条件よりx>0
\(\displaystyle \log_{2}{(8x)}+\log_{2}{\frac{x}{8}}\\
=(\log_{2}{8}+\log_{2}{x})(\log_{2}{x}-\log_{2}{8})\\
=(\log_{2}{x}+3)(\log_{2}{x}-3)\)
log2x=Aとおくと\(\displaystyle \frac{1}{8}\leq x \leq 4 \)より-3≦A≦2
(A+3)(A-3)=A2-9はA=-3で最大値0,A=0で最小値-9をとる
A=log2x=-3 , A=log2x=0をそれぞれ解くと\(\displaystyle x=\frac{1}{8} , x=1 \)
よって\( \displaystyle x=\frac{1}{8} \)のとき最大値0,x=1のとき最小値-9
対数関数の真数(定義域)は正ですが値域は実数全体なのでこのようにマイナスの値が答えになることもあります。

とりあえずこの2パターンを練習すれば対数関数の最大最小の基礎はOKでしょう。

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