「小数部分をaとする。」つまり,aは?

上野竜生です。よく数学で,○○の小数部分をaとおく。と見かけますが,ここで困る人がいるようです。今回はこの解き方をマスターしましょう。

「~の小数部分」求め方と応用

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例題1:小数部分を求めておしまいのケース

次の小数部分を求めよ。
(1)3.2  (2)\( \sqrt{2} \)    (3)  -4.1  (4) \( \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \)

これらはすぐできますか?少なくとも(1)はできそうですね。

とりあえず解答してみますと

(1)は整数部分が3,小数部分は0.2なので0.2が答えです。

(2)で困っている人は次の関係を覚えましょう。

整数部分は目分量や近似値で決め,不等式で証明する!小数部分はもとの数から整数部分をひく!

明らかに\( \sqrt{2} \)は1.414・・・ですから整数部分は1ですね。なので小数部分は\( \sqrt{2} \)から整数部分の1を引いて\( \sqrt{2}-1 \)となります。

え?これ以上計算しないの?もっときれいな式だと思ってた・・・ と思うかもしれませんがこれ以上は書けません。ただ上の緑色で塗られた性質を知っているかだけの問題なのです。

記述式なら次のように書くべきでしょう:

\( (0<)1<2<2^2 \)より\( 1<\sqrt{2} <2 \)。よって\( \sqrt{2} \)の整数部分は1。ゆえに小数部分は\( \sqrt{2} -1 \)

(3)は注意が必要です。小数部分というのは0以上1未満の数で表されます。つまり,-4.1というのは

-4.1=-4 + (-0.1) とするのではなく,-4.1=-5 + 0.9 と考えるのです。これに注意すると小数部分は0.9となります。

この赤線部分はどうして?というよりそういう定義だと思っておきましょう。

(4)は応用です。先ほどの緑色を参考に少し考えてみてください。とくに記述試験を受ける予定の人は記述式でも対応できる解答を考えてみてください。

正解はこうなります。

\( 1.4<\sqrt{2}<1.5 , 1.7<\sqrt{3}<1.8 , 2.2<\sqrt{5}<2.3 \)より,\( 5.3<\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}<5.6 \)となり,整数部分は5。

ゆえに小数部分は\( \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}-5 \)

いかがでしたか。できましたか?余裕があれば最初の不等式は2乗して示せばよいでしょう

例題2:小数部分を求めてからひと手間ある場合

少なくとも小数部分を求めたいものが何かハッキリわかってる場合,必ず小数部分を先に求めましょう。そうでない場合にも小数部分は比較的先に求めやすい値です。

\( \sqrt{37} \)の小数部分をaとする。\(\displaystyle a- \frac{1}{a} = \fbox{ アイウ } \)である。

数学の問題の中にはaは求めにくいけど\(\displaystyle a-\frac{1}{a} \)は求めやすいなどいろいろありますが,基本はaを求めます。この問題では素直にaを出すほうがいいでしょう。

解答

\( 6<\sqrt{37} <7より,a=\sqrt{37}-6 \)

よって\(\displaystyle a-\frac{1}{a} \\ \displaystyle = \sqrt{37}-6 – \frac{1}{\sqrt{37}-6} \\= \sqrt{37}-6 -(\sqrt{37}+6)\\=-12\)

分母の有理化
\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{37}-6}=\frac{\sqrt{37}+6}{(\sqrt{37}-6)(\sqrt{37}+6)}=\sqrt{37}+6 \)
を使っています。

例題3:小数部分=元の数ー整数部分という考え方じゃない例

余りを用いた問題などは周期性や余りを用いて考えます。なので整数部分が出しにくいものもあります。

\( f(n)=(\frac{2^n}{3}の小数部分) \)とする。f(1)からf(100)までの和を求めよ。

これは整数部分を求める方針がうまくいきません。これは3で割った余りに着目します。

\(2^n\)を3で割った余りはnが偶数の時1,奇数の時2・・・★だから

f(n)はnが偶数の時\( \frac{1}{3} \) ,奇数の時\( \frac{2}{3} \)。1から100までに奇数と偶数は50個ずつあるから

\( 50\times \frac{1}{3} + 50\times \frac{2}{3}=50 \)

このタイプは逆に「整数部分の和」と言われたときに(整数部分)=(元の数)-(小数部分)として考えることになります。
★の証明は数学的帰納法もしくは偶数を2kとおいて
\( 2^{2k}=4^k=(3+1)^k \)を二項定理で展開するなどの方法を使います。奇数の時は2k+1とおいて同様に展開すればOKです。

このような感じで解けることになります。意外と簡単だと思いますので慣れておきましょう。

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