Σ計算の書き方・シグマの意味(基本)

上野竜生です。Σの意味と書き方を理解しましょう。そして超基本性質を確認します。

Σ(シグマ)の基本

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Σ(シグマ)とは

和の記号。「・・・」を使って書くところを厳密に書くのに使います。

例: 1+2+3+4+・・・+9+10=?

おそらく55でしょう。しかし,これは「・・・」の部分に「5+6+7+8」が入っているだろうと推測しているのです。意地悪な人だと

私は「・・・」の部分に「1+1+1」が入ると思った。

1+2+3+4+・・・+9+10=1+2+3+4+1+1+1+9+10=32って言っても間違いとは言えないじゃないか!「5+6+7+8」が入るという根拠は?え?(威圧)

ってなると思います。そこで正確に表記するためにΣがあるというわけです。

この計算(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)は下のように誤解のない書き方で書けます。

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{10} n \)

これでn=1から10まで nを足してくださいねという意味になります。

より一般には次のようになります。

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n \)

kとかnをゴチャ混ぜにする人がいるので注意してください。k=1からnまでakを足していく記号です。

基本公式

実際に書き出してみるとわかると思います。

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{i=1}^n a_i \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n ra_k = r \sum_{k=1}^n a_k \) (rは実数)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k \) (ak-bkでも同様)

①はどちらもa1+a2+a3+…+anのことなので等しいです。つまり「k」の部分は何でもいいのです。ただしi=1から足すのならakではなくaiに変える必要があります。

②はどちらもra1+ra2+・・・+ranのことですね。

③はどちらもa1+b1 + a2+b2+ ・・・+ an+bn のことですね。

このように有限個の和では順番は入れ替えられます。公式として紹介しなくても自明レベルですね。

練習

Σの意味を理解しているかの練習

数列an,bnの値は下の表のとおりとする。次の値を求めよ。
(1) \(\displaystyle \sum_{k=1}^3 a_k \)
(2) \(\displaystyle \sum_{k=1}^3 b_k \)
(3) \(\displaystyle \sum_{k=1}^3 a_k b_k \)
(4) \(\displaystyle \sum_{k=2}^3 \frac{1}{b_k} \)
n 1 2 3 4
an 5 3 -1 9
bn 0 1 4 5
答え(1) a1+a2+a3=5+3+(-1)=7
(2) b1+b2+b3=0+1+4=5
(3) a1b1+a2b2+a3b3=0+3+(-4)=-1
(4) \( \displaystyle \frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3} = 1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} \)

この例からわかるように
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n a_k \sum_{k=1}^n b_k \)
成り立ちません。

Σで書く練習

例題: n≧3とする。次の式をΣを用いて表せ。
5n+7n+9n+11n+…+(2n-1)n

この練習そのものが入試にでるというわけではありませんが,自分の表現したい式がこの例題のような式だったとして「・・・」を使わずΣで書くほうが正確です。そこで「・・・」を含まないシグマの式で書けるように練習することが大切です。

またこの問題はいろいろな考えができます。

(2n-1)を重視する考え

最後の項の形を見てak=(2k-1)nとおく。するとa3+a4+…+anになるので
\( \displaystyle \sum_{k=3}^n (2k-1)n \)

k=1から足したいという考え

a1=5n , a2=7n,・・・とするにはak=(2k+3)nとすればいいですね。ただしこの場合k=1からnまでではありません。最後の(2n-1)nはan-2となっていることに注意しましょう。するとa1+a2+・・・+an-2となるので答えは

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-2} (2k+3)n \)

となります。

見た目は違いますがもちろんこの2つの答えは一致します。気になる人は実際に書き出してみてください。
なおnを前に出して\( \displaystyle n \sum_{k=1}^{n-2} (2k+3) \)などもOKです。
\( \displaystyle \sum_{k=5}^{2n-1} kn \)とは意味が違います(これだと5n+6n+7n+…+(2n-1)nの意味)
シグマの式を自分で書けるようにしましょう。特にk=1から足すのならシグマの中はkの式になります。(nは定数扱い)。注意しましょう。

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